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数学辅导讲义
第二讲 函数复习
重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。
难点：树立数形结合的思想，函数方程的思想解决有关问题。
主要内容：
（一）基本问题
1.定义域 2.对应法则 3.值域
4.图象问题 5.单调性 6.奇偶性（对称性）
7.周期性 8.反函数 9.函数值比大小
10.分段函数 11. 函数方程及不等式
（二）基本问题中的易错点及基本方法
1．集合与映射
<1>认清集合中的代表元素
<2>有关集合运算中，辨清：子集，真子集，非空真子集的区别。还应注意空集的情形，验算端点。
2．关于定义域
<1>复合函数的定义域，限制条件要找全。
<2>应用问题实际意义。
<3>求值域，研究函数性质（周期性，单调性，奇偶性）时要首先考察定义域。
<4>方程，不等式问题先确定定义域。
3．关于对应法则
注：<1>分段函数，不同区间上对应法则不同
<2>联系函数性质求解析式
4．值域问题
基本方法：<1>化为基本函数——换元（新元范围）。化为二次函数，三角函数，……并结合函数单调性，结合函数图象，求值域。
<2>均值不等式：——形如和，积，及形式。注意识别及应用条件。
<3>几何背景：——解析几何如斜率，曲线间位置关系等等。
易错点：<1>考察定义域
<2>均值不等式使用条件
5．函数的奇偶性，单调性，周期性。
关注问题：<1>判定时，先考察定义域。
<2>用定义证明单调性时，最好是证哪个区间上的单调性，在哪个区间上任取x1及x2。
<3>求复合函数单调区间问题，内、外层函数单调区间及定义域，有时需分类讨论。
<4>由周期性及奇偶性（对称性）求函数解析式。
<5>“奇偶性”+“关于直线x=k”对称，求出函数周期。
6．比大小问题
基本方法：<1>粗分。如以“0”，“1”，“-1”等为分界点。
<2>搭桥 <3>结合单调性，数形结合
<4>比差、比商 <5>利用函数图象的凸凹性。
7．函数的图象
<1>基本函数图象
<2>图象变换 ①平移 ②对称（取绝对值） ③放缩
易错点：复合变换时，有两种变换顺序不能交换。如下：
<I>取绝对值（对称）与平移

题型一 函数定义
[例1]下列对应是不是从A到B的映射？是不是函数？
  （1）A=(－∞,+∞)，B=（0，+∞）, f∶x→y=|x|
  （2）A={x|x≥0}, B=R, f∶x→y, y2=x.
  （3）A={x|x≥2, x∈Z}, B={y|y≥0, y∈Z}, f∶x→y=x2-2x+2.
  （4）A={平面α内的矩形}，B={平面α内的圆}，f∶作矩形的外接圆。

[例2]．试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）=，g（x）=；
（2）f（x）=，g（x）=
（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）=，g（x）=；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。

[例3].已知(x,y)在映射f的作用下的象是(2x-y,x+2y),则在f作用下,(2,1)的原象是（  ）
A.(1,0)    B.(0,1)    C.(2,0)    D.(3,4)

题型二：函数解析式
[例4]．（1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知是一次函数，且满足，求；
（4）已知满足，求。

[例5]．设函数则不等式的解集是_____________.

[例6 ]已知函数
求f[f(1)]和f[f(-1)]的值。

题型三：函数定义域值域

[例7]．求下述函数的定义域：
（1）；
（2）
[例8]．已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
(1) ；(2)。
变式题：已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞ B．－12＜a≤0 C．－12＜a＜0 D．a≤
[例9]．求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）；（9）。

题型四：函数单调性
[例10]．（1）求函数的单调区间；
（2）已知若试确定的单调区间和单调性。

1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ）
A．y=2x＋1 B．y=3x2＋1
C．y= D．y=2x2＋x＋1
2．函数f(x)=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f(1)等于 （ ）
A．－7 B．1
C．17 D．25
3．函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是 （ ）
A．(3，8) B．(－7，－2)
C．(－2，3) D．(0，5)
4．函数f(x)=在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 （ ）
A．(0，) B．( ，＋∞)
C．(－2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

题型五：函数奇偶性
[例11]．讨论下述函数的奇偶性：

综合练习
1.f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数，且在 [0,1)上为增函数，若，则a的范围为

2.已知是定义在（－１，１）上的奇函数，它在区间［0，１）上单调递减，
且f(1-a)+f(1-a2)＜0，求实数的取值范围．

题型六：有关抽象函数
1.给出三个等式：⑴ f(x+y)=f(x)+f(y); ⑵f(xy)=f(x)+f(y); ⑶f(xy)=f(x)f(y).则不满足其中任何一个等式的函数是（ ）。（A）X2 (B)sin x (C) 2x (D) lg x
2.已知函数f(x)的定义域为(–∞,0)(0,+∞),且对定义域中任意x,均有f(x)f(-x)=1,
g(x)=. 则 g(x)为（ ）。
(A) 奇函数（B）偶函数（C）既奇且偶函数（D）非奇非偶函数
3. 已知f(x+1)的定义域是 [0，2)，则f(x2)的定义域是_____________________。
4．已知函数y= f(x)（xR, 且x）对任意非零实数x1, x2,恒有f(x1x2)= f(x1)+f(x2)。
试判断f(x)的奇偶性。

5. 设函数f(x) 是奇函数，对任意x,yR,都有f(x+y)=f(x)+f(y)，若x>0时，f(x) <0.且
f(1)=―2,求f(x)在[―3,3]上的最大，最小值。

6. 设定义在R上的函数f(x), 对任意x,y R,都有f(x+y)+f(x―y)=2f(x)f(y),且f(x).
(1) 求证f（0）=1; (2) 求证y= f(x) 是偶函数;
(3)若存在常数c,使f(c/2)=0, 求证对任意xR,有f(x+c)= ―f(x) 成立。

7.定义在R上的函数f(x)，满足x1x2 ，使得f(x1) f(x2)，又对任意x,y，
f(x+y)=f(x)f(y)。求证（1）f（0）=1；（2）f(x) >0对任何 x都成立。

【思维总结】
“函数”是数学中最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内容与方法。由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练。
1．求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。
2．求函数定义域一般有三类问题：
（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；
（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；
（3）已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：
①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；
②若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出。
3．求函数值域的各种方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。
①直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；
二次函数的定义域为R，
当a>0时，值域为{}；
当a<0时，值域为{}。
②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；
③分式转化法（或改为“分离常数法”）
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域
4．判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(-x)= ±f(x)óf(-x) f(x)=0；
5．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映；
6．若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0，因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；
7．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。
8．若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立，则称T为函数f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集。
9．单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。注意，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决

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用心 爱心 专心