第7章第2节.doc

第七章　第二节

1．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－2x－3≤0}，则∁UM＝(　　)
A．{x|－1≤x≤3}　　　　　 B．{x|－3≤x≤1}
C．{x|x＜－3或x＞1}　　　　 D．{x|x＜－1或x＞3}
解析：选D　因为M＝{x|－1≤x≤3}，全集U＝R，所以∁UM＝{x|x＜－1或x＞3}.
2．(2013·江西高考)下列选项中，使不等式x<<x2成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)　　　　 B．(－1,0)
C．(0,1)　　　　 D．(1，＋∞)
解析：选A　当x＞0时，原不等式可化为x2＜1＜x3，解得x∈∅；当x＜0时，原不等式可化为解得x＜－1，故选A.
3．已知函数f(x)＝若f(x)≥1，则x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1]　　　　 B．[1，＋∞)
C．(－∞，0]∪[1，＋∞)　　　　 D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：选D　当x≤0时，由x2≥1，得x≤－1；
当x＞0时，由2x－1≥1，得x≥1，
综上可知x的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞).
4．(2014·临川模拟)关于x的不等式＞0的解集为P，不等式log2(x2－1)≤1的解集为Q.若Q⊆P，则a的取值范围为(　　)
A．－1＜a＜0　　　　 B．－1≤a≤1
C．a＞1　　　　 D．a≥1
解析：选B　当a≥－1时，P＝(－∞，－1)∪(a，＋∞)，
当a＜－1时，P＝(－∞，a)∪(－1，＋∞)．
由得，
∴Q＝[－，－1)∪(1，]．
∵Q⊆P，∴P＝(－∞，－1)∪(a，＋∞)．
∴－1≤a≤1.故选B.
5．(2014·杭州调研)若不等式|8x＋9|＜7和不等式ax2＋bx＞2的解集相同，则实数a、b的值分别为(　　)
A．a＝－8，b＝－10　　　　 B．a＝－4，b＝－9
C．a＝－1，b＝9　　　　 D．a＝－1，b＝2
解析：选B　据题意可得|8x＋9|＜7的解集是x－2＜x＜－，故由是一元二次不等式ax2＋bx＞2的解集，可知x＝－2，x＝－是方程ax2＋bx－2＝0的两个根，由根与系数的关系可得－2×＝－＝，解得a＝－4，－2＋＝－＝－，解得b＝－9.故选B.
6．(2014·江西师大附中测试)在R上定义运算：xy＝，若关于x的不等式x(x＋1－a)＞0的解集是{x|－2≤x≤2，x∈R}的子集，则实数a的取值范围是(　　)
A．－2≤a≤2　　　　 B．－1≤a≤2
C．－3≤a＜－1或－1＜a≤1　　　D．－3≤a≤1
解析：选D　x(x＋1－a)＞0即为＞0整理得＞0即＜0，设A为关于x的不等式x(x＋1－a)＞0的解集，当A为∅时，则a＋1＝0，解得a＝－1；当a＋1＞0即a＞－1时，A＝(0，a＋1)⊆[－2,2]，则a＋1≤2得a≤1，所以－1＜a≤1；当a＋1＜0即a＜－1时，A＝(a＋1,0)⊆[－2,2]，则a＋1≥－2，得a≥－3，所以－3≤a＜－1.综上可知－3≤a≤1，故选D.
7．不等式3x2－2x－1＜0成立的一个必要不充分条件是(　　)
A.　　　　 B.∪(1，＋∞)
C.　　　　 D．(－1,1)
解析：选D　由3x2－2x－1＜0解得－＜x＜1，而(－1,1)，所以(－1,1)是3x2－2x－1＜0成立的一个必要不充分条件.
8．(2013·重庆高考)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15 ，则a＝ (　　)
A.　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
解析：选A　方法一：∵不等式x2－2ax－8a2＜0的解集为(x1，x2)，
∴x1，x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两根．
由韦达定理知
∴x2－x1＝＝＝15，
又a＞0，∴a＝.故选A.
方法二：由x2－2ax－8a2＜0，得(x＋2a)(x－4a)＜0，
∵a＞0，∴不等式x2－2ax－8a2＜0的解集为(－2a,4a)，
又不等式x2－2ax－8a2＜0的解集为(x1，x2)，
∴x1＝－2a，x2＝4a.
∵x2－x1＝15，∴4a－(－2a)＝15，
解得a＝.故选A.
9．已知f(x)＝则不等式x＋xf(x)≤2的解集是__________．
解析：(－∞，1]　(1)当x≥0时，原不等式可化为x2＋x－2≤0，解得－2≤x≤1，所以0≤x≤1.
(2)当x＜0时，原不等式可化为x2－x＋2≥0，得2＋≥0恒成立，所以x＜0.
综合(1)(2)知x≤1，所以不等式的解集为(－∞，1].
10．已知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|－2＜x＜1}，则不等式cx2＋bx＋a＞c(2x－1)＋b的解集为________．
解析：　由题意可知a＞0，且－2,1是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则解得
所以不等式ax2＋bx＋a＞c(2x－1)＋b可化为－2ax2＋ax＋a＞－2a(2x－1)＋a，整理得2x2－5x＋2＜0，解得＜x＜2.故不等式的解集为.
11．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．
解析：20　七月份：500(1＋x%)，八月份：500(1＋x%)2.
所以一至十月份的销售总额为
3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，
解得1＋x%≤－2.2(舍)或1＋x%≥1.2，
∴xmin＝20.
12．(2014·武汉外国语学校月考)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
解析：9　由值域为[0，＋∞)，当x2＋ax＋b＝0时有Δ＝a2－4b＝0，即b＝，∴f(x)＝x2＋ax＋b＝x2＋ax＋＝2，∴f(x)＝2＜c解得－＜x＋＜，－－＜x＜－.∵不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，∴－＝2＝6，解得c＝9.
13．(2014·广东六校联考)设集合A＝{x|x2＜4}，B＝x1＜.
(1)求集合A∩B；
(2)若不等式2x2＋ax＋b＜0的解集为B，求a，b的值．
解：A＝{x|x2＜4}＝{x|－2＜x＜2}，
B＝＝＝{x|－3＜x＜1}．
(1)A∩B＝{x|－2＜x＜1}．
(2)因为2x2＋ax＋b＜0的解集为B＝{x|－3＜x＜1}，
所以－3和1为2x2＋ax＋b＝0的两根，
所以解得a＝4，b＝－6.

1．若不等式x2＋ax－2＞0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　　 B.
C．(1，＋∞)　　　　 D.
解析：选A　令f(x)＝x2＋ax－2，由f(0)＝－2＜0知不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－.选A
2．(2014·山西山大附中月考)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是(　　)
A．13　　　　 B．18　　　　
C．21　　　　 D．26
解析：选C　设f(x)＝x2－6x＋a，其图象是开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示．若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得5＜a≤8，又a∈Z，∴a＝6,7,8.则所有符合条件的a的值之和是6＋7＋8＝21.故选C.

3．已知函数f(x)＝x2＋4x＋4，若存在实数t，当x∈[1，t]时，不等式f(x＋a)≤4x恒成立，则实数t的最大值是(　　)
A．4　　　　 B．7　　　　
C．8　　　　 D．9
解析：选D　由题意得(x＋a)2＋4(x＋a)＋4≤4x即x2＋2ax＋a2＋4a＋4≤0当x∈[1，t]时恒成立，令g(x)＝x2＋2ax＋a2＋4a＋4，则g(1)≤0，g(t)≤0.由g(1)≤0得a2＋6a＋5≤0，解得－5≤a≤－1.由g(t)≤0得t2＋2at＋(a＋2)2 ≤0，
令h(a)＝t2＋2at＋(a＋2)2，则即，解得1≤t≤9，所以t的最大值为9.故选D.
4．(2014·广州测试)已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．
(1)求a，b；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0(c∈R)．
解：(1)由题意知x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，
由根与系数的关系知解得
(2)由ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，得x2－(2＋c)x＋2c＜0，
即(x－2)(x－c)＜0.
①当c＞2时，解得2＜x＜c；
②当c＜2时，解得c＜x＜2；
③当c＝2时，不等式为(x－2)2＜0无解．
综上，当c＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜c}；
当c＝2时，不等式的解集为∅；
当c＜2时，不等式的解集为{x|c＜x＜2}．