根的判别式-(5).doc

《一元二次方程根的判别式》教学设计方案

课题名称
《一元二次方程根的判别式》
科 　目
初中数学
年级

教学时间
一节课（45分钟）
学习者分析
学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究作用，它是前面知识的深化与总结。从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。

教学目标
一、知识与技能
1.　 感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；
2.　 会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；
二、过程与方法
1.　 培养学生的探索、创新精神；
2.　 培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。
三、情感态度与价值观
1.　 学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；
2.　 培养学生的协作精神
教学重点、难点
1.　 根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用
2.　 根的判别式定理及逆定理的运用。
教学资源
　教师自制的多媒体课件；上课环境为多媒体大屏幕环境。

《一元二次方程根的判别式》的教学活动过程描述

教学活动1
（一）设置悬念，引发兴趣：
【教师】：同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在章老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我。
【学生】会争先恐后地编题考老师。
（二）设置练习，创设情境。
【教师】你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧？那么好，现在就请同学们用公式法解，以下三个一元二次方程；你们会很快发现我的奥秘。
用公式法解一元二次方程（用投影仪打出）

(注：找三名学生板演，其余学生在位上做)
【学生】都在积极解答，寻找其中的奥秘。

教学活动2

（一）启发引导，发现结论：
【教师】请同学们观察这三个方程的解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，每题都是先确定了a、b、c的值，然后求出它的值——，为什么要这样做呢？
【学生】会初步说出 的作用是：它能决定方程是否可解。
【教师】（1）由此可见：在解
起着重要的作用，显然我们可以根据的值的符号来判断 的根的情况，因此，我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△（读作delta，它是希腊字母）”来表示，即△=。我们说在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它体现了数学的简洁美。

（3）通过解这三个方程，同学们可以发现一元二次方程根的情况有哪几种，谁能总结出来？
【学生】由于前面作了铺垫，所以学生很快可以答出结论。
（二）引导学生，理论验证：
【教师】一元二次方程根的情况果真有三种吗？ 请同学们认真阅读课本P39的内容，书上从理论方面给我们做了很好的解释。
【学生】带着老师提出的问题，会很认真地去看书，寻找答案。
（三）揭示定理：
【教师】（1）由此我们就得出了关于

若△＞0 则方程有两个不相等的实数根
若△ =0 则方程有两个相等的实数根
若△＜0则方程没有实数根
（2）我们说：这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：

若方程有两个不相等的实数根，则△＞0
若方程有两个相等的实数根， 则△=0
若方程没有实数根， 则△＜0
（3）定理与逆定理的用途不同
定理的用途是：在不解方程的情况下，根据△值的符号，用定理来判断方程根的情况。
逆定理的用途是：在已知方程根的情况下，用逆定理来确定△值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范围。
（4）注意运用定理和逆定理时，必须把所给的方程化成一般形式后方可使用。
教学活动3

（一）应用定理，解决问题：
【教师】下面我们就来学习两个定理的应用。
例1：不解方程判别下列方程根的情况（用投影仪打出）

分析；要判别方程根的情况，根据定理可知；就是要确定△值的符号，
（4）补充了一个含有字母系数的方程，补充此题的目的是：使学生进一步地掌握此类题中△值的符号的判断方法， 也为今后解综合性问题打好基础。在练习中作了相应地补充。

分析：我先提出两个问题：
（1）是谁决定了方程有无实数根？
（2）现在要证方程无实数根，只要证明什么就行了？
例2是补充的一个用定理证明的题目，它含有字母系数，它的证明实际与例1的第（4）的解法类似，但学生易于出错，往往错用逆定理来证。
注意；例1，例2之后我设计了一个小结：（1）关于运用根的判别式定理来判断：含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤以及关于△变形的一些经验，从而使学生真正搞清搞透。
小结（1）关于运用根的判别式定理来判断：含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤是：
①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算△；
②用配方法等将△变形，使之符号明朗化后，判断△的符号。
③根据根的判别式定理，写出结论。
（2）注意关于△的变形；一般情况下，△由配方或因式分解后能变形成

等形式；那么△的符号就明朗了，即可判断其符号。
学生练习；
不解方程，判别下列方程根的情况

注意：做以上练习时，学生板演，其余学生在位上做；板演后如果发现有错或有其他解法，下面同学可主动上去纠正或写出自己的不同解法，然后教师进行讲评。从而调动学生的参与意识。

分析：要解决这个问题，应先假设方程有实根，然后根据根的判别式的逆定理，得出△≥0，再由△≥0解这个不等式，从而求出a的取值范围，进而得出a的正整数解。
注意：本思考题是我补充的一个用逆定理来解决的问题，以巩固逆定理的运用方法，本题让学生自己分析，教师只帮助学生理清思路，最后让学生自己完成。
教学活动4

（一）归纳小结
【教师】（1）今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须牢固掌握好它。
（2）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。

判别式的情况
根 的 情 况
定 理 与 逆 定 理

△＞0

△＝0

△＜0

（二）布置作业：
1、阅读课本的内容；
2、不解方程判定下列方程根的情况：

注 （第3、4题供学有余力的学生做）

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