高考数学知识考点精析(15)三角函数图象及性质.doc

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第十五讲三角函数的图象和性质
1、正弦函数、余弦函数的图象和性质：(1)五点法作图：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。常选取横坐标分别为0，的五点。
(2)正弦函数y=sinx是奇函数，对称中心是，对称轴是直线。
余弦函数y=cosx是偶函数，对称中心是，对称轴是直线。
练习：已知函数为常数），且，则______（答：－5）；（3）函数的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________（答：、）；（4）已知为偶函数，求的值。（答：）
(3)、单调性：上单调递增，
在单调递减。
y=cosx在上单调递减，在上单调递增。
如：函数的单调递增区间为___________（答：）
三角函数的单调性：正弦一,四增，二、三减。余弦三、四增，一、二减。正切只有增区间，余切只有减区间。强调象限的区间内。
2、的图象：(1)振幅、周期、频率、相位、初相：函数，表示一个振动量时，A表示这个振动的振幅，往返一次所需的时间T＝，称为这个振动的周期，单位时间内往返振动的次数称为振动的频率，称为相位，x＝0时的相位叫初相。
(2)、函数＋K的图象与y=sinx的图象的关系：
把y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0），　　　　y=sin（x+）
把y=sin（x+）的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的，　　　　　　y=sin（x+）
注意：此处初相不变。
把y=sin（x+）的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，　　　　　
把的图象横坐标不变，纵坐标向上（k>0）或向下（k<0），
+K
若由y=sin（x）得到y=sin（x+）的图象，则向左或向右平移个单位。
注意：
3、正切函数y=tanx的性质：（1）定义域：，。（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值。（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线y=a的两个相邻交点之间的距离是一个周期。（4）奇偶性：是奇函数，对称中心是，无对称轴。
（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。
4、反三角函数的定义：（1）反正弦：在闭区间上符合条件sinx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实数a的反正弦，记作arcsina,即x=arcsina,其中，且a=sinx.注意arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a,且这个角在内（-1≤a≤1）
（2）反余弦：在闭区间上，符合条件的角x，叫做实数a的反余弦，记作arccosa,即x=arccosa,其中x.
(3)反正切：在开区间（－，）内，符合条件tanx=a（a为实数）的角x，叫做实数a的反正切，记做arctana,即x=arctana,其中
反三角函数的性质：（1）sin（arcsina）=a, （-1≤a≤1）,cos（arccosa）=0, （-1≤a≤1）,
tan（arctana）=a,(2)arcsin（-a）=-arcsina,arccos（-a）=-arccosa,arctan（-a）=-arctana,
(3)arcsina+arccosa=,(4) arc sin （sinx）=x,只有当x在内成立。同理arccos（cosx）=x只有当x在闭区间上成立。
5．三角函数的值域的求法：（1）y=asinx+b（或y=acosx+b）型，利用，即可求解，此时必须注意字母a的符号对最值的影响。
（2）y=asinx+bcosx型，引入辅助角　，化为y=sin（x+）,利用函数即可求解。Y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型亦可以化为此类。
（3）y=asinx+bsinx+c（或y=acosx+bcosx+c），型，可令t=sinx（t=cosx）,-1≤t≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。
（4）Y=（或y=）型，解出sinx（或cosx）,利用去解；或用分离常数的方法去解决。
（5）y=（y=）型，可化归为sin（x+）g（y）去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c时，还可利用数形结合的方法去处理上。
（6）对于含有sinx±cosx,sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t,,将sinxcosx转化为t的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。
6、关于三角函数的周期：
(1)一般先化为：
(2) 绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如的周期都是, 的周期不变；

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