2015年高考试题数学理(安徽卷)解析版.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试
数学理（安徽卷）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
考生注意事项：
1． 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.
2． 答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3． 答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在答题卷、草稿纸上答题无效.
4． 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.
参考公式：
如果事件与互斥，那么.
标准差，其中.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.[来源:学优高考网]
（1）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意，其对应的点坐标为，位于第二象限，故选B.
考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.
（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.
（3）设，则是成立的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：由，解得，易知，能推出，但不能推出，故是成立的充分不必要条件，选A.
考点：1.指数运算；2.充要条件的概念.
（4）下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意，选项的焦点在轴，故排除，项的渐近线方程为，即，故选C.
考点：1.双曲线的渐近线.

（5）已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
（A）若，垂直于同一平面，则与平行
（B）若，平行于同一平面，则与平行
（C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线
（D）若，不平行，则与不可能垂直于同一平面
【答案】D
考点：1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.
（6） 若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准
差为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】
试题分析：设样本数据，，，的标准差为，则，即方差，而数据，，，的方差，所以其标准差为.故选C.
考点：1.样本的方差与标准差的应用.
（7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
（A） （B）
（C） （D）

【答案】B
考点：1.复数的运算；2.共轭复数.
（8） 是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列
结论正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】
试题分析：如图，

由题意，，故，故错误；，所以，又，所以，故错误；设中点为，则，且，所以，故选D.
考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积.
（9）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
（A），， （B），，
（C），， （D），，

【答案】C
考点：1.函数的图象与应用.
（10） 已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当
时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
考点：1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
（11）的展开式中的系数是 .（用数字填写答案）
【答案】
【解析】
试题分析：由题意，令，得，则的系数是.
考点：1.二项式定理的展开式应用.
（12）在极坐标中，圆上的点到直线距离的最大值是 .
【答案】

考点：1.极坐标方程与平面直角坐标方程的转化；2.圆上的点到直线的距离.
（13） 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的为 .

【答案】
【解析】
试题分析：由题意，程序框图循环如下：①；②；③
；④，此时，所以输出.
考点：1.程序框图的应用.
（14）已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 .
【答案】
【解析】
试题分析：由题意，，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和
.
考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前项和公式.
（15） 设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的
是 .（写出所有正确条件的编号）
①；②；③；④；⑤.
【答案】①③④⑤
考点：1函数零点与方程的根之间的关系；2.函数的单调性及其极值.
三. 解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的
指定区域内.
（16）（本小题满分12分）
在中，,点D在边上，，求的长.
【答案】
【解析】
试题分析：根据题意，设出的内角所对边的长分别是，由余弦定理求出的长度，
[来源:gkstk.Com]
考点：1.正弦定理、余弦定理的应用.
（17）（本小题满分12分）
已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放
回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率
（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所
需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）依据题目所给的条件可以先设“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件.得出.（Ⅱ）的可能取值为.依此求出各自的概率，列出
考点：1.概率；2.随机变量的分布列与期望.
（18）（本小题满分12分）
设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，证明.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）对题中所给曲线进行求导，得出曲线在点处的切线斜率为.从而可以写成切线方程为.令.解得切线与轴交点的横坐标.
（Ⅱ）要证，需考虑通项，通过适当放缩能够使得每项相消.先表示出
考点：1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式.
（19）（本小题满分13分）
如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中
点，过的平面交于F.
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）求二面角余弦值.

【答案】（1）；（2）

考点：1.线面平行的判定定理与性质定理；2.二面角的求解.
（20） （本小题满分13分）
设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为
，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.
（I）求E的离心率e；
（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求
E的方程.
【答案】（I）；（II）.
试题解析：（I）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，进而得
，故.
（II）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线的方程为，点的坐标为，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为.又点在直线上，且,从而有解得，所以，故椭圆的方程为.[来源:学优高考网gkstk]
考点：1.椭圆的离心率；2.椭圆的标准方程；3.点点关于直线对称的应用.
（21）（本小题满分13分）
设函数.
（Ⅰ）讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（Ⅱ）记，求函数在上的最大值D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取，求满足时的最大值.
【答案】（Ⅰ）极小值为；（Ⅱ）； （Ⅲ）1.
试题解析：（Ⅰ），.
，.
[来源:学优高考网gkstk]
考点：1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.

[来源:学优高考网gkstk]