2019年高考试题——数学文(辽宁卷)解析版.doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数学（文史类）
一、 选择题：本大题12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M＝﹛x|－3＜x5﹜,N＝﹛x|x＜－5或x＞5﹜，则MN＝
(A) ﹛x|x＜－5或x＞－3﹜ (B) ﹛x|－5＜x＜5﹜
(C) ﹛x|－3＜x＜5﹜ (D) ﹛x|x＜－3或x＞5﹜
【解析】直接利用并集性质求解,或者画出数轴求解.
【答案】A
（2）已知复数，那么＝
（A） （B） （C） （D）
【解析】＝
【答案】C
(3)已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝
（A）－2 （B）－ （C） （D）2
【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1 Þ d＝－
【答案】B
（4）平面向量a与b的夹角为，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |＝
（A） （B）2 （C）4 （D）12
【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12
∴
【答案】B
（5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为
（A）0.8 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.25
【解析】设地球半径为R,则北纬纬线圆的半径为Rcos60°＝R
而圆周长之比等于半径之比,故北纬纬线长和赤道长的比值为0.5.
【答案】C
(6) 已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝，则＝
（A） （B） （C） （D）
【解析】∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)
且3＋log23＞4
∴＝f(3＋log23)
＝
【答案】A
(7) 已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C
的方程为
（A） (B)
(C) (D)
【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.
【答案】B
（8）已知，则
（A） （B） （C） （D）
【解析】
＝＝
【答案】D
（9）ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为
（A） （B） （C） （D） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为
因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2＝
取到的点到O的距离大于1的概率为
【答案】B
(10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N个数据，，。。。，其中收入记为正数，支出记为负数。该店用右边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的
（A）A＞0,V＝S－T
(B) A＜0,V＝S－T
(C) A＞0, V＝S＋T
（D）A＜0, V＝S＋T
【解析】月总收入为S,因此A＞0时归入S,判断框内填A＞0
支出T为负数,因此月盈利V＝S＋T
【答案】C
（11）下列4个命题

㏒1/2x>㏒1/3x
㏒1/2x w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
㏒1/3x
其中的真命题是
（A） （ B） （C） （D）
【解析】取x＝,则㏒1/2x＝1,㏒1/3x＝log32＜1,p2正确
当x∈(0,)时,()x＜1,而㏒1/3x＞1.p4正确
【答案】D
（12）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是
（A）（，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，）
【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)
∴得f(|2x－1|)＜f(),再根据f(x)的单调性
得|2x－1|＜ 解得＜x＜
【答案】A
2009年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数学（文科类）
第II卷
二－填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为___________.
【解析】平行四边形ABCD中,
∴＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2)
即D点坐标为(0,－2)
【答案】（0，－2）
（14）已知函数的图象如图所示，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
则 ＝
【解析】由图象可得最小正周期为
∴T＝ Þ ω＝
【答案】
（15）若函数在处取极值，则
【解析】f’(x)＝
f’(1)＝＝0 Þ a＝3
【答案】3
（16）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。

则该几何体的体积为
【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3,
体积等于×2×4×3＝4
【答案】4
三．解答题：本大题共6小题，共70分。解答应用写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分10分）
等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列
（1）求{}的公比q；
（2）求－＝3，求 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（17）解：
（Ⅰ）依题意有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

由于 ，故

又，从而 5分
（Ⅱ）由已知可得
故
从而 10分

（18）（本小题满分12分）
如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC＝0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（18）解：
在中，＝30°，＝60°－＝30°，
所以CD＝AC＝0.1
又＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是底边AD的中垂线，所以BD＝BA 5分
在中，，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
即AB＝
因此，
故B、D的距离约为0.33km。 12分
（19）（本小题满分12分）
如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。
（I）若CD＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN的长；
（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（19）解
（Ⅰ）取CD的中点G连结MG，NG.
因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
所以MG⊥CD，MG＝2，.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG.
所以 ……6分
（Ⅱ）假设直线ME与BN共面， …..8分
则平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，
由已知，两正方形不共面，故平面DCEF.
又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，
所以AB∥EN.
又AB∥CD∥EF,
所以EN∥EF，这与矛盾，故假设不成立。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
所以ME与BN不共面，它们是异面直线。 ……..12分
（20）（本小题满分12分）
某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：
甲厂

（1） 试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
（2） 由于以上统计数据填下面列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。

甲 厂
乙 厂
合计
优质品

非优质品

合计

附： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（20）解：
（Ⅰ）甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为； ……6分
乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为
（Ⅱ）

甲厂
乙厂
合计
优质品
360
320
680
非优质品
140
180
320
合计
500
500
1000
……8分
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。 ……12分
（21）（本小题满分12分）
设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。
（I） 求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（II） 证明：当 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（21）解：
（Ⅰ）.有条件知，
，故. ………2分
于是.
故当时，＜0；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当时，＞0.
从而在，单调减少，在单调增加. ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在单调增加，故在的最大值为，
最小值为. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
从而对任意，，有. ………10分
而当时，.
从而 ………12分

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