齐民友高数下册上课第08章01向量.doc

第8章 空间解析几何与向量代数
开始
上学期最高分
经管学院：唐松慧93，吴双92，吴师为90，沈文英90。
信息学院：罗天擎100，时丽丹98，次雨桐97，高凡95。
测绘学院：唐茂峰100，尹建鹏97，吴仁攀95，彭祥95。
很遗憾，三个学院都有同学不及格。
有一个问题值得思考：上学期有个老师说，两个班同一个老师同一个教室上课，其中一个班四十几个同学只有一个不及格，另一个班二十个同学却５个不及格。这说明了什么？班风学风不一样后果就不一样！同样的老师上课，相同的环境中学习，有的同学考了100分，有点同学却及格难保。原因何在？有一点是可以肯定的，我们的同学那个也不笨，笨能考上武大妈？没及格肯定是努力不够甚至上课没专心听。希望不及格的同学对自己的未来负责，认真总结经验教训，采取有效措施，迎头赶上。
这学期，我们有一个目标：每个班都有同学100分；不及格率在5%以下。这学期，我们有一个理想：每个班都有两个同学100分；不及格率0%。我们的目标一定要达到，我们的目标一定能够达到！　这是高数最后一个学期，机不可失，时不再来。
想及格吗？提供下面策略供你参考：
下册一共考5章，按平均算，每章20分。第8章不需要上学期的知识，第13章基本不需要上学期的知识，希望上学期没及格的同学下大力气把这40分拿到手；复习上学期简单求导求定积分的知识，在第9、10、11章拿到15个简单分。就及格了。
想高分甚至100分吗？提供下面策略供你参考：
上课认真听讲，每节课都不留疑点，课后把每节课的内容练熟、巩固，并与上学期内容很好联接。及早复习，复习时争取扫清所有内容。
有的同学学了半天，也不知道自己懂了没有。多和同学、老师交流，就容易发现自己是否懂了，真懂还是假懂。
请注意：下册很多内容不追求严格证明，只要求理解、记住、练熟、掌握解题方法。
班辅导员的联系方式：
经管学院：
信息学院：
测绘学院：
第8章　空间解析几何与向量代数
下册的主要内容有三方面：1、向量代数和空间解析几何；2、多元函数微积分；3、无穷级数。其中，多元函数微积分是我们的主要方面；空间解析几何是多元函数微积分必不可少的基础；而向量代数又是空间解析几何的基础和工具。因此，我们从向量代数开始学习。向量代数就是向量运算的理论。
这一章基本上不需要上学期的知识，只需要中学的数学基础。立体想象帮助思考。想及格吗？绝不能放过这一章！
第1节　向量及其线性运算
1.1 向量的概念
在中学我们认识了两种量：
1、 只有大小（多少）的量，称为数量（纯量或标量）。例如体积、质量、距离、时间、实数等。
2、 既有大小、又有方向的量，称为向量。例如力、速度、加速度等。
下面我们将对向量做详细系统的学习。
我们通常用小写粗体字母或上面加有箭头的字母表示向量，如向量，，或，，等。由于书写粗体字母不方便，通常我们用后一方法表示向量。
向量既有大小又有方向，向量也只有大小和方向。
（和的大小相等且方向一致）。
大小等于的向量称为零向量，记为。注意：任意方向都是零向量的方向。
大小等于的向量称为单位向量，通常记为。
1.1.1 在立体几何空间中向量的的表示方法
在立体几何空间（简称空间）中，我们用一条有方向的线段(即有向线段)来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．以为始点，为终点的有向线段所表示的向量记为。零向量的终点与始点重合。
向量的大小称作向量的模，或长度，也称为向量的范数。向量与的模分别记作与。显然，。
向量只有大小和方向，不区别空间位置。把平移到则。
（提问：共有多少个零向量？共有多少个单位向量？）
1.1.2 两个向量的的关系
设是两个向量。适当平移使得和的始点重合，它们就形成一个夹角，称为向量与的夹角，记作。
如果和的方向相同或相反，则称这两个向量平行，记作。
由于零向量的方向是任意的，因此零向量与任意向量都平行。
两向量平行时，若将它们的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在同一直线上，因此，两向量平行，又称两向量共线。
类似地，还有向量共面的概念。设有个向量，若将它们的起点放在同一点时，这个终点和公共起点都在一个平面上，则称这个向量共面。
1.2 向量的线性运算
1　向量的加法
在中学物理中，我们用平行四边形法则将两个力或两个速度相加。类似地，我们用平行四边形法则把两个向量相加如下：
如图1.1所示，设，，以与为边作一平行四边形，取对角线向量，记，称为和的和，记作。
这种用平行四边形的对角线向量作为两个向量之和的方法称作向量加法的平行四边形法则。

图1.2

图1.1

由于，如果用表示，擦去和剩下，也可以确定。因此，可以这样来作出两向量的和向量：
如图1.2，设，以的终点为起点作，连接得
．
称这一法则为向量加法的三角形法则．三角形法则其实也是接龙法（前一向量的头与后一向量的尾相接）。
平行四边形法则和三角形法则得到的和向量一致。
根据向量的加法的定义，可以证明向量加法具有下列运算规律：
(1) 交换律 ;
(2) 结合律 。
证　根据平行四边形法则和三角形法则。
(1)如图1.1，

(2)如下图，

由于结合律，向量相加无需写括号。
向量的接龙加法可推广到个向量相加如下：
作，， (图1.3)，最后作，则

（注意始终点字母的规律。）

图1.3

图1.4

与大小相等而方向相反的向量称为的负向量，记作．定义两向量与的差为向量： ，这种运算称为向量的减法．
特别地，．
由三角形法则可看出：要从减去，只要把与长度相同而方向相反的向量加到向量上去．由平行四边形法则，可按图1.4作出向量：即向量是由的终点向的终点所引的向量．
思考题：
1． 证明三角形不等式：．
（这是平面几何的三角形不等式。）
2　向量与数的乘法
任意给了实数和向量，定义与的乘积（简称数乘）为一新的向量，记作。定义如下：（定义好了的大小和方向也就定义好了）

显然，。
若，则（）；（）
由上述定义，不难推出数乘向量运算满足下列运算规律：
(1) 结合律
显然，向量的方向相同，且

故 .
(2) 分配律　；
同样由数与向量乘积的定义也可证明（略）．
设，用表示与同方向的单位向量．由于都与方向相同，而且
，
因此（）．把单位化为。
向量的加法和数乘运算称为线性运算。
很明显，。关于两向量是否平行的判断方法，我们有如下定理：
定理1.1　设向量，那么向量的充分必要条件是：存在惟一的实数，使．（此充要条件称为平行条件。）
证 由数乘的定义，充分性是明显的。以下证必要性.
设。取
。
根据数乘的定义，。
如果另有实数，满足，则，从而．因此满足条件的是唯一的．证毕．
若向量且，则必有
(1.2)

设数轴，其原点为，将与轴的正向同方向的单位向量记作，为轴上任意一点，其坐标为，则．

图1.5

因此，，从而得以下推论:
推论　对数轴上任意一点，轴上有向线段都可唯一地表示为点的坐标与轴上单位向量的乘积: .
思考题：
2． 设向量，，试给出的充分必要条件．
（）
*向量可以表成向量的线性组合意即：存在实数使得
。
类似于两向量平行的充分必要条件，对于向量共面，有如下的充分必要条件：
定理1.2　三非零向量，，共面的充分必要条件是其中一个向量可以表成其余两个向量的线性组合.

图1.6

证　若三向量，，均不共线
充分性．不妨设，为非零实数，任取一点，作，，则就是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的向量，因此三向量，，共面，但与共线，与共线，从而，，共面.
必要性．若向量，，共面，则总可将它们平移使其共起点，如图1.6所示，设，且，，过点分别作交于，交于，则四边形为平行四边形，因此有
，，
记，，得.
若三向量，，中有两个如，共线，则，为非零实数。
当，即，故与共线，与也共线，自然与，共面.
反之，若向量，，共面，而，共线，故，即可表成向量，的线性组合.
证毕．
由定理1.2不难得到
推论　三向量，，共面的充分必要条件是存在不全为零的数，使得
．
（以后表示向量时，我们粗体字母和带箭头的字母混用。）
习题8－1
A类
1．设为三角形的三个顶点，求.
2．已知中，若是的中点，试用表示和.
3．已给正六边形(字母顺序按逆时针向)，记，试用向量表示向量和.
4．设，，试用表示.
B类
1．将的边五等分，设分点依此为，再将各分点与点连接，试以，表示向量，，和.
*2．试证明：
(1) 两向量，共线的充分必要条件是存在不全为零的数使得.
(2) 三向量，，共面的充分必要条件是存在不全为零的数，使得.

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