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第22章 二次函数
一、二次函数的概念
一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。叫做二次函数的一般式。
注意：（1）二次函数是关于自变量x的二次整式，二次项系数a必须为非零实数，即a≠0，而b、c为任意实数。
（2）当b=c=0时，二次函数是最简单的二次函数。
（3）二次函数是常数，自变量的取值为全体实数
二、二次函数的图像
1、二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
① 开口方向；②对称轴；③顶点坐标；④最值；⑤增减性。
2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；
④；⑤.
三、抛物线的平移
方法：左加右减自变量，上加下减常数项
抛物线的平移实质是顶点的平移，因为顶点决定抛物线的位置，

所以抛物线平移时首先化为顶点式

――――――――――――――――→
向上（k>0）向下（k<0）平移︱k︱个单位
↓ ↓

――――――――――――――――→
向上（k>0）向下（k<0）平移︱k︱个单位

四、二次函数的解析式
1、二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式： y=ax2+bx+c（a≠0），
对称轴：直线x= 顶点坐标：( )
（2）顶点式：（a≠0），
对称轴：直线x= 顶点坐标为（, ）
（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）,
对称轴:直线x=
(其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标).
2、二次函数的解析式三种形式的选择：
（1）.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
（2）.已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式.
（3）.已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式。.
五、二次函数的性质

函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标

当时
开口向上
当时
开口向下
（轴）
（0,0）

（轴）
(0, )

(,0)

(,)

()

二次函数的常用性质：
1、增减性：
当a>0时，在对称轴左侧（），y随着x的增大而减少；
在对称轴右侧（），y随着x的增大而增大；
当a<0时，在对称轴左侧（），y随着x的增大而增大；
在对称轴右侧（），y随着x的增大而减少；
2、最大或最小值：
二次函数是否有最值，由a的符号确定。
当a>0时，函数有最小值，并且当x= ， y最小 ＝
当a<0时，函数有最大值，并且当x= ， y最大 ＝
注：如果自变量x有取值范围，则另当别论。
3、二次函数中，的含义：
表示开口方向：>0时，抛物线开口向上
<0时，抛物线开口向下
与对称轴有关：对称轴为x=
表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）
六、抛物线中a、b、c的作用
1、a决定抛物线的开口方向和开口大小
的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，函数开口方向向上；
当a<0时，函数开口方向向下；
的大小决定抛物线的开口大小：当越大时，开口越小；
当越小时，开口越大；
相等，抛物线的开口大小、形状相同.
2、a和b共同决定抛物线的对称轴位置。（x=）
左同右异：①如果对称轴在Y轴左侧，则a、b符号相同。
②如果对称轴在Y轴右侧，则a、b符号相反。
注意点：①时，对称轴为轴；
②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；
③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.
3、c的大小决定抛物线于y轴的交点位置。（于y=kx+b中的b作用相同）
①当时，抛物线经过原点; ②当时,与轴交于正半轴；
③当时,与轴交于负半轴.
以上当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
八、抛物线（）与x轴的交点个数
与x轴交点，令y＝0，则有 即解一元二次方程
① 当△>0时，方程 有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有两个不同的交点。
② 当△＝0时，方程 有两个相等的实数根，即抛物线与x轴有一个交点。
③ △< 0时，方程 没有实数根，即抛物线与x轴没有交点。