2015年梅州市中考数学试卷.docx

2015年梅州市初中毕业生学业考试

(满分:120分　时间:90分钟)

参考公式:抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-b2a,顶点坐标是-b2a,4ac-b24a.
第Ⅰ卷(选择题,共21分)

一、选择题:每小题3分,共21分.每小题给出四个答案,其中只有一个是正确的.
1.12的相反数是(　　)

A.2 B.-2 C.12 D.-12
2.下图所示几何体的左视图为(　　)

3.下列计算正确的是(　　)
A.x+x2=x3 B.x2·x3=x6 C.(x3)2=x6 D.x9÷x3=x3
4.下列说法正确的是(　　)
A.掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动后,6点朝上是必然事件
B.甲、乙两人在相同条件下各射击10次,他们的成绩平均数相同,方差分别是s甲2=0.4,s乙2=0.6,则甲的射击成绩较稳定
C.“明天降雨的概率为12”,表示明天有半天都在降雨
D.了解一批电视机的使用寿命,适合用普查的方式
5.下列命题正确的是(　　)
A.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
6.如图,AB是☉O的弦,AC是☉O的切线,A为切点,BC经过圆心.若∠B=20°,则∠C的大小等于(　　)

A.20° B.25° C.40° D.50°
7.对于二次函数y=-x2+2x.有下列四个结论:
①它的对称轴是直线x=1;②设y1=-x12+2x1,y2=-x22+2x2,则当x2>x1时,有y2>y1;③它的图象与x轴的两个交点是(0,0)和(2,0);④当0<x<2时,y>0.
其中正确结论的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
第Ⅱ卷(非选择题,共99分)
二、填空题:每小题3分,共24分.
8.函数y=x-1的自变量x的取值范围是　　　　. 
9.分解因式:m3-m=　　　　. 
10.据统计,2014年我市常住人口约为4 320 000人,这个数用科学记数法表示为　　　　. 
11.一个学习兴趣小组有4名女生,6名男生,现要从这10名学生中选出一人担任组长,则女生当选组长的概率是　　　　. 
12.已知:△ABC中,点E是AB边的中点,点F在AC边上,若以A,E,F为顶点的三角形与△ABC相似,则需要增加的一个条件是　　　　　　　.(写出一个即可) 
13.如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC,BC=6,DE=2,则▱ABCD的周长等于　　. 

14.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点A与点C重合,折痕为EF,若AB=4,BC=2,那么线段EF的长为　　　　. 

15.若1(2n-1)(2n+1)=a2n-1+b2n+1对任意自然数n都成立,则a=　　　　,b=　　　　;计算:m=11×3+13×5+15×7+…+119×21=　　　　. 
三、解答下列各题:本大题有9小题,共75分.解答应写文字说明、推理过程或演算步骤.
16.本题满分7分.
在“全民读书月”活动中,小明调查了班级里40名同学本学期计划购买课外书的花费情况,并将结果绘制成如图所示的统计图.请根据相关信息,解答下列问题:(直接填写结果)

(1)这次调查获取的样本数据的众数是　　　　; 
(2)这次调查获取的样本数据的中位数是　　　　; 
(3)若该校共有学生1 000人,根据样本数据,估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有　　　　人. 
17.本题满分7分.
计算:8+|22-3|-13-1-(2 015+2)0.

18.本题满分7分.
已知a+b=-2,求代数式(a-1)2+b(2a+b)+2a的值.

19.本题满分7分.
已知关于x的方程x2+2x+a-2=0.
(1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围;
(2)当该方程的一个根为1时,求a的值及方程的另一根.

20.本题满分9分.
如图,已知△ABC.按如下步骤作图:
①以A为圆心,AB长为半径画弧;
②以C为圆心,CB长为半径画弧,两弧相交于点D;
③连结BD,与AC交于点E,连结AD,CD.
(1)求证:△ABC≌△ADC;
(2)若∠BAC=30°,∠BCA=45°,AC=4,求BE的长.

21.本题满分9分.
九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:
售价(元/件)
100
110
120
130
…
月销量(件)
200
180
160
140
…

已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.
(1)请用含x的式子表示:
①销售该运动服每件的利润是　　　　元;②月销量是　　　　件;(直接填写结果) 
(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大?最大利润是多少?

22.本题满分9分.
如图,直线l经过点A(4,0),B(0,3).
(1)求直线l的函数表达式;
(2)若圆M的半径为2,圆心M在y轴上,当圆M与直线l相切时,求点M的坐标.

23.本题满分10分.
在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点.若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转,得到等腰Rt△AD1E1,设旋转角为α(0°<α≤180°),记直线BD1与CE1的交点为P.
(1)如图1,当α=90°时,线段BD1的长等于　　　　,线段CE1的长等于　　　;(直接填写结果) 
(2)如图2,当α=135°时,求证:BD1=CE1,且BD1⊥CE1;
(3)①设BC的中点为M,则线段PM的长为　　　　;②点P到AB所在直线的距离的最大值为　　　　.(直接填写结果) 

24.本题满分10分.
如图,过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=1x的图象分别交于两点A,C和B,D,连结AB,BC,CD,DA.
(1)四边形ABCD一定是　　　　四边形;(直接填写结果) 
(2)四边形ABCD可能是矩形吗?若可能,试求此时k1,k2之间的关系式;若不可能,说明理由;
(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2)(x2>x1>0)是函数y=1x图象上的任意两点,a=y1+y22,b=2x1+x2,试判断a,b的大小关系,并说明理由.

备用图

2015年梅州市初中毕业生学业考试

一、选择题
1.D　12的相反数是-12,故选D.
2.A　左视图是指从立体图形左侧看,所得到的平面图形,故选A.
3.C　x与x2不是同类项,不能合并,A选项错误;x2·x3=x2+3=x5,B选项错误;(x3)2=x6,C选项正确;x9÷x3=x9-3=x6,D选项错误.故选C.
4.B　方差描述一组数据的稳定性,方差越小,数据越稳定,B选项符合,故选B.
5.D　A选项描述的四边形还有可能是等腰梯形;B选项,对角线互相垂直平分的四边形是菱形;C选项,对角线相等且互相平分的四边形是矩形,排除A,B,C,故选D.
6.D　连结OA,在等腰△ABO中,∠B=∠BAO=20°,∴∠AOC=40°.∵AC是☉O的切线,∴OA⊥AC,则∠OAC=90°,∴在Rt△ACO中,∠C=50°,故选D.

7.C　二次函数y=-x2+2x的图象如图所示,对称轴为x=1,与x轴的交点为(0,0),(2,0),所以①③正确.当0<x<2时,y>0,所以④正确.由图象可知,当x2>x1时,y1与y2的大小不能确定,所以②错误,故选C.

二、填空题
8.答案　x≥0
解析　根据被开方数为非负数,可得x≥0.
9.答案　m(m+1)(m-1)
解析　先提取公因式,再利用平方差公式可得结果.
10.答案　4.32×106
解析　用科学记数法将数字表示成a×10n(其中1≤|a|<10,n为整数)的形式,则a=4.32,n=6.故4 320 000=4.32×106.
11.答案　25
解析　这10名学生中有4名女生,所以女生当选组长的概率为410=25.
12.答案　F是AC的中点(或EF∥BC或∠AEF=∠B或∠AEF=∠C或∠AFE=∠B或∠AFE=∠C)
解析　答案不唯一,根据相似的判定方法相应的添加条件即可.
13.答案　20
解析　在▱ABCD中,AD∥BC,所以∠AEB=∠CBE,由BE平分∠ABC,得∠ABE=∠CBE,所以∠ABE=∠AEB,所以△ABE是等腰三角形,则AB=AE=AD-ED=BC-ED=4,所以▱ABCD的周长为2(AB+BC)=20.
14.答案　5
解析　连结CE,由题知EF垂直平分AC,则CE=AE,设CE=AE=x(x>0),∴BE=4-x,在Rt△BCE中,CE2=BE2+BC2,即x2=(4-x)2+22,解得x=52.

过点E作EG⊥CD,垂足为G,则EG=2,CG=32,设AC与EF交于点O,易证△FOC≌△EOA,∴OE=OF,则CF=CE=52,∴FG=1,在Rt△FGE中,EF=12+22=5.
15.答案　12;-12;1021
解析　由1(2n-1)(2n+1)=a2n-1+b2n+1=2(a+b)n+(a-b)(2n-1)(2n+1)得a+b=0,a-b=1,即a=12,b=-12.
∴1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,
∴m=12×1-13+13-15+…+119-121=12×1-121=1021.
三、解答题
16.解析　(1)30元.(2分)
(2)50元.(4分)
(3)250.(7分)
评析　观察统计图,根据图示信息填空,本题考查统计相关的概念.
17.解析　原式=22+3-22-3-1(5分)
=-1.(7分)
18.解析　原式=a2-2a+1+2ab+b2+2a(4分)
=(a+b)2+1.(5分)
当a+b=-2时,原式=3.(7分)
19.解析　(1)依题意得原方程的判别式Δ=22-4(a-2)>0,(1分)
解得a<3.(3分)
(2)依题意得1+2+a-2=0,(4分)
解得a=-1.(5分)
故原方程为x2+2x-3=0.(6分)
解得x1=1,x2=-3.
∴a=-1,方程的另一根为-3.(7分)
(用根与系数的关系求解同样给分)
20.

解析　(1)证明:根据作法知,
AB=AD,CB=CD.(1分)
又AC=AC,(2分)
∴△ABC≌△ADC.(3分)
(2)由(1)可得,AB=AD,∠BAC=∠CAD,
∴AE⊥BD,即AC⊥BE.(5分)
Rt△ABE中,∠BAE=30°,∴AE=BEtan 60°=3BE,(6分)
Rt△BEC中,∠BCE=45°,∴EC=BE.(7分)
又AE+EC=AC=4,∴3BE+BE=4,(8分)
∴BE=41+3=23-2.
∴BE的长为23-2.(9分)
21.解析　(1)①(x-60);②(-2x+400).(4分)
(2)解法一:依题意,可得
y=(x-60)×(-2x+400)(6分)
=-2x2+520x-24 000(7分)
=-2(x-130)2+9 800≤9 800.(8分)
当x=130时,y取最大值9 800.
∴售价为每件130元时,当月的利润最大,最大利润是9 800元.(9分)
解法二:依题意,可得
y=(x-60)×(-2x+400)(6分)
=-2x2+520x-24 000.(7分)
∵a=-2<0,
∴x=-b2a=130时,y取最大值,(8分)
y=4ac-b24a=9 800.
∴售价为每件130元时,当月的利润最大,最大利润是9 800元.(9分)
评析　本题考查二次函数图象的顶点坐标、对称轴,实际问题中的函数模型,二次函数最值的求解等知识.
22.解析　(1)依题意可设直线l的解析式为y=kx+3(k≠0).(2分)
将x=4,y=0代入上式得4k+3=0,
解得k=-34.(3分)
所以直线l的函数表达式为y=-34x+3.(4分)

(2)在△AOB中,由勾股定理得AB=5.
过M作ME⊥AB交AB于点E,
当圆M与直线l相切时,ME=2.(5分)
在△OBA和△EBM中,
∵∠OBA=∠EBM,∠BOA=∠BEM,
∴△OBA∽△EBM,(6分)
∴ABBM=OAEM,∴BM=AB·EMOA=5×24=52.(7分)
∴点M的坐标为0,12或0,112.(9分)
评析　本题综合考查了一次函数,相似三角形与圆的性质,难度适中.
23.解析　(1)25;25.(2分)
(2)证明:当α=135°时,如图.

∵Rt△AD1E1是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°而得到,
∴AD1=AE1,∠D1AB=∠E1AC=135°,(3分)
又AB=AC,∴△D1AB≌△E1AC.(4分)
∴BD1=CE1,(5分)
且∠D1BA=∠E1CA.
记直线BD1与AC交于点F,
∴∠BFA=∠CFP,(6分)
∴∠CPF=∠FAB=90°,∴BD1⊥CE1.(7分)
(3)①22;(8分)
②1+3.(10分)
(提示:①点P在以BC为直径的圆上,得PM=22;②D1,E1在以A为圆心,AD为半径的圆上,当BD1所在直线与圆A相切时,直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大,此时四边形AD1PE1是正方形,PD1=2,PB=2+23,作PG⊥AB,交AB所在直线于点G,则PG=1+3为所求)
24.解析　(1)平行.(2分)
(2)四边形ABCD可以是矩形,此时k1k2=1.(3分)
显然k1≠0,k2≠0.由y=k1x,y=1x,解得x2=1k1,y2=k1.
∴OA2=1k1+k1.(4分)
同理,OB2=1k2+k2.
当四边形ABCD是矩形时,OA=OB,(5分)
∴1k1+k1=1k2+k2.
得(k2-k1)1k1k2-1=0,
∵k2-k1≠0,∴1k1k2-1=0.
∴k1k2=1.
∴四边形ABCD可以是矩形,此时k1k2=1.(6分)
(3)a>b.(7分)
解法一:
∵a-b=y1+y22-2x1+x2=121x1+1x2-2x1+x2
=(x1+x2)2-4x1x22x1x2(x1+x2)
=(x1-x2)22x1x2(x1+x2),(9分)
∵x2>x1>0,
∴(x1-x2)2>0,x1x2(x1+x2)>0,
∴(x1-x2)22x1x2(x1+x2)>0.
∴a>b.(10分)
解法二:
如图所示,取PQ的中点M,过点P,M,Q分别作x轴的垂线,垂足分别是P1,M1,Q1,MM1交y=1x的图象于点N.设M(x0,y0).

∵PP1∥MM1∥QQ1,M是PQ的中点,
∴M1是P1Q1的中点,M1P1=Q1M1,
∴x0-x1=x2-x0,
∴x0=x1+x22.(8分)
同理,y0=y1+y22.
由图可知MM1>NM1.(9分)
又MM1=y0=y1+y22=a,
NM1=1x0=2x1+x2=b,
∴a>b.(10分)