等差数列前n项及公式教案.docx

2.3等差数列的前n项和公式（教案）

一． 教学目标：
1. 知识与技能目标
了解等差数列前n项和公式，理解等差数列前n项和公式的几何意义，并且能够灵活运用其求和。
2. 过程与方法目标
学生经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法。
3. 情感态度与价值观目标
学生获得发现的成就感，优化思维品质，提高代数的推导能力。
二． 教学重难点：
1.重点：等差数列前n项和公式的推导，掌握及灵活运用。
2.难点：诱导学生用“倒序相加法”求等差数列前n项和。
三． 教法与学法分析：
1.教法分析：采用“诱导启发，自主探究式”学法为主，讲练结合为辅的教学方法。
2.学法分析：采用“自主探究式学习法”和“主动学习法”。
四． 课时安排：
1个课时

五．教学过程
（一）导入
我们已经学过等差数列的定义an+1-an=d(n属于正整数)，等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，等差数列的等差中项2an=an-1+an+1，还有：若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.我们应该怎样求a1+a2+…+an,其中{an}为等差数列，记Sn=a1+a2+…+an
我们知道200多年前高斯的老师给他们出了一道题目，让他们计算1+2+就算出来了…+100=？当时10岁的高斯很快。高斯是怎样做出来的呢？他使用了什么简单高明的方法？
1+2+…+100=(1+100)+（2+99）+…+ (50+51)=50*101,所以1+2+…+100=5050，这就是著名的高斯算法，到后来，人们就从高斯算法中得到启发，求出了等差数列1+2+…+n的前n项和的算法
（二）探究新知，发现规律
从高斯算法中，人们怎样求出首项为1，公差为1的等差数列1+2+3+…+n的和?
首先 1+2+…+n (1)
n+(n-1)+…+1 （2）
2Sn=(n+1)+(n+1)+…+(n+1) (n个（n+1）)
所以 1+2+…+n=n*(n+1)/2
我们把上面的方法称为“倒序相加法”，也就是说高斯当时用的就是“倒序相加法”算出了1+2+…+100的和
然而这个方法可以推广到等差数列的前n项和
定义：一般地，我们把a1+a2+…+an叫做等差数列的前n项和，用Sn表示
即Sn=a1+a2+…+an
从高斯算法中得到的启示，对于一般的等差数列，其中a1是首项，d是公差，我们可以用两种方法来表示
Sn =a1+a2+…+an
=a1+(a1+d)+ …+ +[ a1+(n-1)d] (3)
Sn =an+ an-1+…+a1
=an+( an-d) +…+[ an -(n-1)d] (4)
两式相加得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ …+(a1+an),有n个(a1+an）
所以Sn=n(a1+an)/2 (5)
将an=a1+(n-1)d带入Sn=n(a1+an)/2中即可得到 Sn=na1+n(n-1)d/2 (6)
(5)与(6)区别：第一个公式反映了等差数列的首项与末项之和跟第n项与倒数第n项之和是相等的；第二个公式反映了等差数列的首项与公差d之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数作比较。
联系：将an=a1+(n-1)d带入Sn=n(a1+an)/2中即可得到 Sn=na1+n(n-1)d/2
（三）知识应用，反思，提高强化知识
例1：已知等差数列{an}的通项公式an=2n+3,求Sn
解:因为an=2n+3
所以a1=5,
即Sn=n(a1+an)/2
=n^2+4n
例2：已知等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，求前n项和公式Sn
解：因为 S10=10* a1+10*9*d/2=310
S20=20* a1+20*19*d/2=1220
所以Sn=n* a1+n(n-1)d/2
=4n+n(n-1)*6/2
=3n^2+n
习题1：设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S9=72，求a2+a4+ a9=？
解：因为S9=9a1+8*9*d/2=9a1+36d=9(a1+4d)=72
所以a1+4d=8
又因为a2+a4+a9 =a1+d+a1+2d+a1+8d
=3a1+12d
=3(a1+4d)
=3*8
=24
（四） 归纳总结
对Sn=n(a1+an)/2 与 Sn=na1+n(n-1)d/2两个公式的熟练运用：注：已知条件不同时，公式的选择要依据已知条件，有利于很快的解决问题。
（五） 作业布置
P45,1，2