一元二次方程-知识点总结.doc

北师大版九年级(上) 第二章：一元二次方程
1. 认识一元二次方程：
概念：只含有一个未知数，并且可以化为 (为常数，)的整式方程叫一元二次方程。

构成一元二次方程的三个重要条件：
①、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。
如：是分式方程，所以不是一元二次方程。
②、只含有一个未知数。
③、未知数的最高次数是2次。

2. 一元二次方程的一般形式：
一般形式： ()，系数中，一定不能为0，、则可以为0，所以以下几种情形都是一元二次方程：
①、如果，则得，例如：；
②、如果，则得，例如：；
③、如果，则得，例如：；
④、如果，则得，例如：。
其中，叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数；叫做常数项。任何一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、合并同类项…)都可以化为一般形式。
例题：将方程化成一元二次方程的一般形式.
解：
去括号，得：
移项、合并同类项，得： (一般形式的等号右边一定等于0)

3. 一元二次方程的解法：
(1)、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形式：
举例：解方程：
解：方程两边除以9，得：

(2)、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：，将原方程配成的形式，再用直接开方法求解.）
举例：解方程： 配方法解一元二次方程 ()的步骤：
解： ①、二次项系数化为1. (两边都除以二次项系数.)
②、移项.(把常数项移到=号右边.)
③、配方.(两边都加上一次项系数绝对值一半的
平方，把原方程化成的形式)
④、求解.(用直接开方法求出方程的解.)

(3)、公式法：（求根公式：）
举例：解方程： 公式法解一元二次方程的步骤：
解： ①、把一元二次方程化为一般形式：()
②、确定的值.
③、求出的值.
④、若，则把及的值代入求
根公式，求出和，若，则方程无解。

(4)、分解因式法：（理论依据：，则或；利用提公因式、运用公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0的形式。）
【1】提公因式分解因式法：
举例：①、解方程： ②、解方程：
解：原方程可变形为： 解：原方程可变形为：

或 或

【2】运用公式分解因式法：
举例：①、解方程： ②、解方程：
解：原方程可变形为： 解：原方程可变形为：

或
或

【3】十字相乘分解因式法(简单、常用、重要的一元二次方程解法)：
举例：解方程：
十字相乘法：

1 -6 交叉相乘：，
1 +1 即等于一次项系数。所以可以分解成
解：原方程可变形为：

或

【4】其它常见类型举例：
①、解方程： ②、解方程： （换元法）
解：原方程可变形为： 解：令，原方程可化为：，即：
或

或 ，即
，
或，即

方程无解。
原方程的解为：
4. 一元二次方程的应用：
①、数字问题.
②、面积问题.(牢记有关面积的公式，熟练计算组合图形的面积、面积的转化.)
③、平均增长率(或降低率)问题.其基本关系式：，其中是增长(或降低)的基础量，是平均增长(或降低)率，是增长(或降低)的次数（常考的是两年期，即，），是增长(或降低)后的数量(总量)，增长为“+”，降低为“-”.
④、商品利润问题(重点).基本公式： 1、单件利润=单件进价
2、总利润=单件利润销售量
⑤、运动问题、动点问题。

例题：将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。问：为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？
解法一：设售价定为元，依题意可得：
整理得：
解得：
售价应定为60元或80元.
当定为60元时，应进货个；
当定为80元时，应进货个；

解法二：设上涨元，依题意可得：
整理得：
解得：
售价应定为10+50=60元或30+50=80元.
当定为60元时，应进货个；
当定为80元时，应进货个；

5. 常考题型及其相应的知识点：
(1)、利用一元二次方程的一个已知根求系数及求另一个根问题：
例1：关于的一元二次方程有一根为0，则的值为______.
思路分析：有一根为0，说明有，可代入原方程求出.
注意：一元二次方程时刻不要忘记对二次项系数的讨论：
解：将代入原方程得：
即：
又因为 即
的值为.
例2：一元二次方程 的一个根为，则另一个根为_______.
思路分析：先将已知的一个根代入原方程，解出未知系数，再解出此时一元二次方程的两根.
解：将代入原方程得：

原方程即为：

(2)、判别式：，方程根的情况：
判别式与一元二次方程根的情况：
方程有两个不相等的实数根.
方程有两个相等的实数根(或说方程有一个实数根).
方程没有实数根.

例1：关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______.
思路分析：方程有实数根，但具体不知道有多少个根，所以有.
解：

因为方程有实数根，
即：

例2：方程的根的情况是( ).
A、只有一个实数根. B、有两个相等的实数根. C、有两个不相等的实数根. D、没有实数根
思路分析：判别方程根的情况，之需要计算判别式的值与0比较.
解：

方程没有实数根，选择D.

(2)、一元二次方程根与系数关系，韦达定理：
如果是一元二次方程 ()的两根，根据韦达定理，则有：

例1：已知一元二次方程的两根，则____，____.
解：根据韦达定理得：

另外：利用韦达定理求一些重要代数式(、、)的值：
①、
②、
③、

例2：若方程的两根为，则的值为_____.
解：根据韦达定理得：

例3：已知关于的一元二次方程的两实数根是，且 ，则的值是____.
解：根据韦达定理得：

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