《线性代数》第1章习题详解.doc

一、习题1参考答案1. 求下列排列的逆序数,并说明它们的奇偶性.（1）41253； （2）3712456； （3）57681234； （4）796815432解（1） 偶排列 （2） 奇排列（3） 奇排列（4） 奇排列2. 确定和的值,使得9级排列.(1)成偶排列; (2)成奇排列.解 (1) (2) 3.计算下列行列式. （1） （2） （3） （5） （6） （7） 解（1） （2）（3）（4） （5）（6）(7) 4. 当取何值时 ？解 因为所以当且时，恒有5. 下列各项，哪些是五阶行列式中的一项；若是，确定该项的符号. 解 不是 不是 不是6. 已知行列式，写出同时含和的那些项，并确定它们的正负号.解 符号为正； 符号为负.7. 用行列式定义计算下列行列式.(1) (2) (3) 解 （1）行列式的一般项为若中有两个取列，则必有一个取自列中之一的零元素，故该行列式的值为零，即原式（2）行列式中只有一项不为零，所以原式（3）行列式的展开项中只有一项不为零，所以原式8. 用行列式性质计算下列行列式.(1) （2） （3）（4） （5） （6） 解 (1) (2) (3) (4) (5) (6） 9. 证明下列等式.(1) (2) (3) =(4) 证明 （1）左式 右式（2） (3) (4) 10.设行列式,求含有元素2的代数余子式的和. 解 含有元素2的代数余子式是11. 设行列式,求第四行各元素余子式之和的值是多少?解 解法一：第四行各元素余子式之和的值为 解法二：第四行各元素余子式之和的值为12.已知 ,试求:(1) (2) 解 (1)方法一：虽然可以先计算处每个代数余子式,然后再求和,但是这很烦琐.利用引理知道，第一列每个元素乘以第二列的代数余子式的和等于零。方法二：构造一个新的行列式,即由性质可知道；的代数余子式是完全一样的，按照第二列展开得 由性质和展开式可知(2)由于无关,可构造一个新的行列式,即 ,则有的代数余子式是完全一样的. 而13. 计算下列行列式.(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解(1) (2) (3) (4) (5) (6) 继续使用这个递推公式,有 而初始值 故 14.求下列方程的根.(1) (2) 解 (1) 所以有 方程的根是(2) 所以有 方程的根是15. 用克拉姆法则解下列方程组. （2）解(1) 因为系数行列式 故方程组有惟一解，而 所以线性方程组的解为解(2) 因为系数行列式 故方程组有惟一解，而 所以线性方程组的解为16. 问取何值时,下列齐次线性方程组有非零解？（1） （2）解（1）齐次线性方程组有非零解，则 所以 方程组有非零解.（2）齐次线性方程组有非零解，则 所以 方程组有非零解.17. 取什么值时,齐次线性方程组 仅有零解.解 系数行列式为 若齐次方程组仅有零解,则必有,所以 ,即.二、第1章自测题参考答案与评分标准(一)填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）1. 行列式的的代数余子式及其值是_.2. 若，则_,_.3. 有非零解，则_.4. 在五阶行列式中，项的符号应取_. 5. 在函数中，的系数是_.6. 设，则_.7. 四阶行列式中，带负号且包含因子和的项为_.8. _.9. 已知，则_.10. 的充分条件是_.解 1. 2. 3，任意实数 3.或 4.正 5. 6. 0 7. 8. 9. 6n 10. -2或3（二）单项选择题（本大题共5个小题，每小题2分，共10分）1.下列（ ）是4级奇排列A. B. C. D.2. 是5阶行列式中前面冠以负号的项，那么的值可以是（ ）A. B. C. D. 3. 已知行列式，则行列式中x的一次项系数是（ ）A. B. C. D. 4. 当（ ）时，有非零解A. B. C. D. 5. 设，则的根是（ ）A. B. C. D. 解 1.B 2.B 3.D 4.C 5.C（三）计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 解 （1） 3分3分2分（2） 2分 2分 2分 2分（3） 2分 2分 2分= 2分（4）2分 2分 2分 2（5） 2分 2分 2分 2分（6） 4分 2分 2分（四）解答题（本大题共8分）问,取何值时,齐次线性方程组有非零解？解 ， 4分齐次线性方程组有非零解，则 2分即 得 所以当该齐次线性方程组确有非零解. 2分（五）证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）（1）（2）证明：（1） 2分2分 2分 1分(2) 2分 2分 2分 1分20