《线性代数》第1章习题详解.doc

一、习题1参考答案
1. 求下列排列的逆序数,并说明它们的奇偶性.
（1）41253； （2）3712456； （3）57681234； （4）796815432
解（1） 偶排列
（2） 奇排列
（3） 奇排列
（4） 奇排列
2. 确定和的值,使得9级排列.
(1)成偶排列; (2)成奇排列.
解 (1) (2)
3.计算下列行列式.
（1） （2） （3）
（5） （6） （7）
解（1） （2）
（3）
（4） （5）
（6）
(7)
4. 当取何值时 ？
解 因为所以当且时，恒有
5. 下列各项，哪些是五阶行列式中的一项；若是，确定该项的符号.

解 不是 不是 不是
6. 已知行列式，写出同时含和的那些项，并确定它们的正负号.
解 符号为正； 符号为负.
7. 用行列式定义计算下列行列式.
(1) (2) (3)
解 （1）行列式的一般项为若中有两个取列，则必有一个取自列中之一的零元素，故该行列式的值为零，即原式
（2）行列式中只有一项不为零，所以原式
（3）行列式的展开项中只有一项不为零，所以原式
8. 用行列式性质计算下列行列式.
(1) （2） （3）
（4） （5） （6）
解 (1)
(2)

(3)

(4)

(5)

(6）

9. 证明下列等式.
(1)
(2)
(3) =
(4)
证明 （1）左式

右式
（2）

(3)

(4)

10.设行列式,求含有元素2的代数余子式的和.
解 含有元素2的代数余子式是

11. 设行列式,求第四行各元素余子式之和的值是多少?
解 解法一：第四行各元素余子式之和的值为

解法二：第四行各元素余子式之和的值为

12.已知 ,试求:
(1) (2)
解 (1)方法一：
虽然可以先计算处每个代数余子式,然后再求和,但是这很烦琐.利用引理知道，第一列每个元素乘以第二列的代数余子式的和等于零。

方法二：构造一个新的行列式,即
由性质可知道；
的代数余子式是完全一样的，按照第二列展开得 由性质和展开式可知
(2)由于无关,可构造一个新的行列式,即 ,则有的代数余子式是完全一样的. 而

13. 计算下列行列式.
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
解
(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

继续使用这个递推公式,有

而初始值 故
14.求下列方程的根.
(1) (2)
解 (1)

所以有 方程的根是
(2)

所以有 方程的根是
15. 用克拉姆法则解下列方程组.
（2）
解　(1) 因为系数行列式
故方程组有惟一解，而

所以线性方程组的解为

解　(2) 因为系数行列式
故方程组有惟一解，而

所以线性方程组的解为

16. 问取何值时,下列齐次线性方程组有非零解？
（1） （2）
解
（1）

齐次线性方程组有非零解，则 所以 方程组有非零解.
（2）
齐次线性方程组有非零解，则 所以 方程组有非零解.
17. 取什么值时,齐次线性方程组 仅有零解.
解 系数行列式为

若齐次方程组仅有零解,则必有,所以 ,即.

二、第1章自测题参考答案与评分标准
(一)填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）
1. 行列式的的代数余子式及其值是____________.
2. 若，则____________,____________.
3. 有非零解，则____________.
4. 在五阶行列式中，项的符号应取____________.
5. 在函数中，的系数是____________.
6. 设，则____________.
7. 四阶行列式中，带负号且包含因子和的项为____________.
8. ____________.
9. 已知，则____________.
10. 的充分条件是____________.
解
1.
2. 3，任意实数 3.或 4.正 5.
6. 0 7. 8. 9. 6n 10. -2或3

（二）单项选择题（本大题共5个小题，每小题2分，共10分）

1.下列（ ）是4级奇排列
A. B. C. D.
2. 是5阶行列式中前面冠以负号的项，那么的值可以是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知行列式，则行列式中x的一次项系数是（ ）
A. B. C. D.
4. 当（ ）时，有非零解
A. B. C. D.
5. 设，则的根是（ ）
A. B. C. D.

解 1.B 2.B 3.D 4.C 5.C
（三）计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）
1. 2.
3. 4.
5. 6.
解 （1） …………3分
…………3分
…………2分
（2） …………2分
…………2分
…………2分
…………2分
（3） …………2分
…………2分
…………2分
= …………2分
（4）…………2分
…………2分
…………2分
…………2
（5）
…………2分
…………2分
…………2分
…………2分
（6）

…………4分
…………2分
…………2分
（四）解答题（本大题共8分）
问,取何值时,齐次线性方程组有非零解？
解 ， …………4分
齐次线性方程组有非零解，则 …………2分
即 得
所以当该齐次线性方程组确有非零解. …………2分
（五）证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）
（1）
（2）
证明：（1）
…………2分…………2分
…………2分
…………1分
(2)
…………2分
…………2分
…………2分
…………1分

20