动点练习答案.doc

1. （2011浙江省舟山，24，12分）已知直线（＜0）分别交轴、轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为秒．
（1）当时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．
① 直接写出＝1秒时C、Q两点的坐标；
② 若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求的值．
（2）当时，设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D（如图2），
① 求CD的长；
② 设△COD的OC边上的高为，当为何值时，的值最大？

（第24题图2）
（第24题图1）

【答案】（1）①C（1，2），Q（2，0）．
②由题意得：P(t，0)，C(t，－ｔ＋3)，Q(3－t，0)，
分两种情形讨论：
情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA，
∵CP⊥OA，∴点P与点Q重合，OQ=OP，即3－t=t，∴t=1.5．
情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB＝90°，∵OＡ=OＢ＝3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴△ACQ是等腰直角三角形，∵CQ⊥OA，∴AQ=2CP，即t =2（－t ＋3），∴t=2．∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒．
(2) ①由题意得：C(t，－＋3)，∴以C为顶点的抛物线解析式是，
由，解得x1=t，x2=t；过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC=∠AOB＝90°，DE∥OA，∴∠EDC=∠OAB，∴△DEC∽△AOB，∴，
∵AO=4，AB=5，DE=t－（ｔ－）=．∴CD=．
②∵CD=，CD边上的高=．∴S△COD=．∴S△COD为定值；
要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短．
因为当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为，∠BCO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠COP＝90°－∠BOC＝∠OBA，又∵CP⊥OA，∴Rt△PCO∽Rt△OAB，
∴，OP=，即t=，∴当t为秒时，h的值最大．
2. （2011广东东莞，22，9分）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）.
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点P作⊥x轴，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设（2）的条件下（不考虑点P与点O，点G重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平等四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由.

【解】（1）把x=0代入，得
把x=3代入，得，
∴A、B两点的坐标分别（0，1）、（3，）
设直线AB的解析式为，代入A、B的坐标，得
，解得
所以，
（2）把x=t分别代入到和
分别得到点M、N的纵坐标为和
∴MN=-（）=
即
∵点P在线段OC上移动，
∴0≤t≤3.
(3)在四边形BCMN中，∵BC∥MN
∴当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形
由，得
即当时，四边形BCMN为平行四边形
当时，PC=2，PM=，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=,
此时BC=CM=MN=BN，平行四边形BCMN为菱形；
当时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=,
此时BC≠CM，平行四边形BCMN不是菱形；
所以，当时，平行四边形BCMN为菱形．
3. （2011江苏扬州，28,12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，AB<AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N，动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动。同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP。设运动时间为t秒（t>0）
（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；
（2）若∠ABC=60º，AB=4厘米。
① 求动点Q的运动速度；
② 设Rt△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；
（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由。

【答案】解：（1）△PBM与△QNM相似；
∵MN⊥BC MQ⊥MP ∴ ∠NMB=∠PMQ=∠BAC =90º
∴∠PMB=∠QMN, ∠QNM=∠B =90º－∠C
∴ △PBM∽△QNM
（2）①∵∠ABC=60º，∠BAC =90º,AB=4,BP=t
∴AB=BM=CM=4,MN=4
∵ △PBM∽△QNM
∴ 即：
∵P点的运动速度是每秒厘米，
∴ Q点运动速度是每秒1厘米。
② ∵ AC=12,CN=8
∴ AQ=12-8+t=4+t, AP=4－t
∴ S==
（3） BP2+ CQ2 =PQ2
证明如下： ∵BP=t, ∴BP2=3t2
∵CQ=8-t ∴CQ2=(8-t)2=64-16t+t2
∵PQ2=(4+t)2+3(4-t)2=4t2-16t+64
∴BP2+ CQ2 =PQ2
7. （2011山东威海，25，12分）如图，抛物线交轴于点，点,交轴于点．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线过点F且与轴平行．直线过点C，交轴于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点K为线段AB上一动点，过点K作轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值；
（3）在直线上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边是平行四边形，求点N的坐标．

图① 备用图
【答案】 解：（1）设抛物线的函数表达式
∵抛物线与轴交于点，将该点坐标代入上式，得．
∴所求函数表达式，即．
（2）∵点C是点A关于点B的对称点，点，点，
∴点C的坐标是．
将点C的坐标是代入，得．
∴直线CD的函数表达式为．
设K点的坐标为，则H点的坐标为，G点的坐标为．
∵点K为线段AB上一动点，
∴．
∴．
∵，
∴当时，线段HG长度有最大值．
（3）∵点F是线段BC的中点，点，点 ，
∴点F的坐标为．
∵直线过点F且与轴平行，
∴直线的函数表达式为．
∵点M在直线上，点N在抛物线上 ，
∴设点M的坐标为，点N的坐标为．
∵点，点 ，∴．
分情况讨论：
① 若线段AC是以点A，C，M，N为顶点的四边是平行四边形的边，则须MN∥AC，且MN＝AC＝8．
当点N在点M的左侧时，．
∴，解得．
∴N点的坐标为．
当点N在点M的右侧时，．
∴，解得．
∴N点的坐标为．
②若线段AC是以点A，C，M，N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称．取点F关于点B对称点P，则点P的坐标为．过点P作NP⊥轴，交抛物线于点N．
将代入，得．
过点N，B作直线NB交直线于点M．
在△BPN和△BFM中，
∵
∴△BPN≌△BFM．
∴NB＝MB．
∴四边形点ANCM为平行四边形．
∴坐标为的点N符合条件．
∴当点N的坐标为，，时，以点A，C，M，N为顶点的四边是平行四边形．
8. （2011山东烟台，26,14分）如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y=－x+，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）.动点P自A点出发，在AB上匀速运行.动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为s（不能构成△OPQ的动点除外）.
（1）求出点B、C的坐标；
（2）求s随t变化的函数关系式；
（3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值.
O
x
y
A
B
C
D
P
Q
O
x
y
A
B
C
D
（备用图1）
90
（备用图2）
90
O
x
y
A
B
C
D

【答案】解：（1）把y＝4代入y＝－x＋，得x＝1.
∴C点的坐标为（1，4）.

当y＝0时，－x＋＝0，
∴x＝4.∴点B坐标为（4，0）.
（2）作CM⊥AB于M，则CM＝4，BM＝3.
∴BC＝＝＝5.
∴sin∠ABC＝＝.

①当0＜t＜4时，作QN⊥OB于N，
则QN＝BQ·sin∠ABC＝t.
∴S＝OP·QN＝（4－t）×t ＝－t2＋t（0＜t＜4）.
②当4＜t≤5时，（如备用图1），
连接QO，QP，作QN⊥OB于N.
同理可得QN＝t.
∴S＝OP·QN＝×（t－4）×t. ＝t2－t（4＜t≤5）.

③当5＜t≤6时，（如备用图2），
连接QO，QP.
S＝×OP×OD＝（t－4）×4＝2t－8（5＜t≤6）.

（3）①在0＜t＜4时，
当t＝＝2时，
S最大＝＝.
②在4＜t≤5时，对于抛物线S＝t2－t，当t＝－＝2时，
S最小＝×22－×2＝－.
∴抛物线S＝t2－t的顶点为（2，－）.
∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大.
∴当t＝5时，S最大＝×52－×5＝2.[来源:Z,xx,k.Com]
③在5＜t≤6时，
在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S随t的增大而增大.
∴当t＝6时，S最大＝2×6－8＝4.
∴综合三种情况，当t＝6时，S取得最大值，最大值是4.
（说明：（3）中的②也可以省略，但需要说明：在（2）中的②与③的△OPQ，③中的底边OP和高CD都大于②中的底边OP和高.所以③中的△OPQ面积一定大于②中的△OPQ的面积.）