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第三节 动能 动能定理
[考点聚焦]
动能定理的应用是高考频率最高的考点之一，历年高考皆涉及这方面的内容，学习中应掌握。
1、动能：物体由于运动而具有的能叫做动能。
动能的表达式为：Ek=。
动能的单位：焦耳 ，符号：J。
动能是标量。
2、动能定理：合外力对物体所做的功，等于物体动能的增量 。
表达式：W=。
3、动能定理的研究对象：⑴质点；⑵物体组；动能定理既适用于恒力作用过程，亦适用于变力作用过程，既适用于直线运动，亦适用于曲线运动。
[好题精析]
图5—3—1
370
例1．如图5—3—1所示，物体在离斜面底端4m处由静止滑下，若动摩擦因数均为0.5，斜面倾角370，
斜面与平面间由一段圆弧连接，求物体能在水平面上滑行多远？

[解析] 物体在斜面上受重力mg、支持力N1、摩擦力F1的作用，沿斜面加速下滑（因μ=0.5＜tg370=0.75），到水平面后，在摩擦力F2作用下做减速运动，直至停止
F1
F2
FN2
FN1
mg
mg
图5—3—1（解）
解法一： 对物体在斜面上和水平面上时进行受力分析，
如图5—3—1（解）所示，知下滑阶段：FN1=mgcos370
故F1=μFN1=μmgcos370
由动能定理 mgsin370·s1—μmgcos370·s1= ①
在水平运动过程中F2=μFN2=μmg
由动能定理 —μmg·s2= ②
由①、②式可得
解法二：物体受力分析上。
物体运动的全过程中，初、末状态速度均为零，对全过程应用动能定理

得
[点评]应用动能定理分析求解匀变速运动，要注意过程分析及每一过程的受力分析，对于多过程的问题要找到联系两过程的相关物理量。

例2．总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为 m，中途脱节，司机发觉时，机车已行使L的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力，设运动的阻力与重量成正比，机车的牵引力是恒定的。当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？

v0
v
F1
F1
L
s1
v0
F1
s2
F
图5—3—2
[解析]此题用动能定理求解比用运动学结合牛顿运动定律求解简单。先画出草图如图5—3—2标明各部分运动位移（要重视画草图）。对车头，脱钩前后的全过程，根据动能定理便可解得：
对末节车厢，根据动能定理有
而
由于原来列车匀速运动，所以
以上方程联立解得
此题也可用功能补偿的思路来解，假设中途脱节时，司机立即发觉，并立即关闭油门，则车厢和机车会停在同一地点；但因行使L距离后，在该过程中牵引力做功为kMgL，这部分功却用来补偿机车多行驶距离克服阻力所做的功，则有，
由此解得
[点评]（1）物体有几个过程时，应注意对全过程列式。解答此类题，关键是分清整个过程有几个力做功及初末状态的动能。
（2）以上的例题都是运用动能定理求解的，从这个例题中我们不难总结出运用动能定理解题的一般思路和方法。一般来说，运用动能定理解题时应按以下步骤进行：
①确定研究对象，并分析研究对象的受力情况、运动情况及其特点；
②根据研究对象的受力特点确定各力对物体所做的功（包括写出表达式）；
③确定研究过程的初、末状态及相应的初、末动能的表达式；
④根据W总=ΔEk列出方程
m
F1
图5—3—3
⑤解方程
⑥进行必要的分析和讨论

例3．一个质量为m的小球栓在细绳的一端，另一端用大小
为F1的拉力作用，在水平面上做半径为R1的匀速圆周运动，
如图5—3—3所示。今将力的大小改为F2，使小球仍在水平面上做匀速圆周运动，但半径为R2。小球运动的半径由R1变成R2的过程中拉力对小球做的功多大？
[解析]设半径为R1、R2时小球做圆周运动的速度大小分别为v1、v2，
由向心力公式得由动能定理
解得：
[解析]当求变力做功时无法由的定义式直接求出，而只能由动能定理间接求出。本题由于绳的拉力是物体在两个轨道圆周运动的向心力，是变力。在轨道变化过程中该力做功属于变力做功，但不能直接求其功，而是先由向心力公式求出初、末状态动能，再由动能定理求出该力的功。

例4．质量为5t 的汽车，在平直公路上一以60kw恒定功率从静止开始运动，速度达到24m/s的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m。运动过程中汽车所受的阻力不变。求汽车运动的时间。

[解析]汽车以恒定功率启动后做加速度逐渐减小的变加速运动，不能根据匀变速运动的规律求汽车加速运动的时间t1；由于牵引力是变力，也不能由动量定理求时间t1。在汽车运动的全过程中有两个力对它做功，牵引力做功为Pt1，阻力做功为—F‘s由动能定理得：Pt1—F‘s=0 ①
汽车达到最大速度时，牵引力和阻力大小相等，则即②
由①、②可求得汽车加速运动的时间为。
关闭油门后，汽车在阻力作用下做匀减速直线运动，
由动量定理得（取运动方向为正方向）： ③
由②、③可求得汽车匀减速运动的时间为

则汽车运动的时间为：
[点评]对于较复杂的物理过程，首先分析物体在个阶段的运动特点，明确各物理量间的关系，再利用合适的物理规律求解。
例5、质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒力升力（该升力由其它力的合力提供，布含重力）。今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h。求：（1）飞机受到的升力大小；（2）从起飞到上升至h高度的过程中升力所做的功及在高度h处飞机的动能。
【解析】（1）飞机水平速度不变l＝v0t ①
0
h
l
x
y
图5-3-4
y方向加速度恒定 ②
消去t即得 ③
由牛顿第二定律 ④

（2）升力做功 ⑤

在h处 ⑥

⑦

[点评]本题考查了图象，运动合成分解，牛顿运动定律、功、动能等知识点，是一道综合性较强的考题，解答时须注意：①正确理解读懂图象，从图象中挖掘解题的条件；②明确升力的功，重力的功与飞机动能的关系。

[当堂反馈]
1、有两个物体a和b，其质量分别为ma和mb，且ma＞mb，它们的初动能相同，若a和b分别受到不变的阻力Fa和Fb的作用，经过相同的时间停下来，它们的位移分别为sa和sb，则（ ）
A．Fa＞Fb，且sa＜sb B．Fa＞Fb，且sa＞sb
C．Fa＜Fb，且sa＞sb D．Fa＜Fb，且sa＜sb

2从高为h处水平抛出一个质量为m的小球，落地点与抛出点水平距离为s，求抛球时人对球所做的功。

[强化训练]
1、下列关于运动物体所受合外力和动能变化的关系正确的是（ ）
A、如果物体所受合外力为零，则合外力对物体做的功一定为零
Ek/J
K
50
0
25
s/m
图5—3—5
B、如果合外力对物体所做的功为零，则合外力一定为零
C、物体在合外力作用下做变速运动，动能一定发生变化
D、物体的动能不变，所受合外力一定为零
2、质量为1kg的物体在水平面上滑行，其动能随位移变化的情况
如图5—3—5所示，取g=10m/s2，则物体滑行持续的时间为（ ）
A、2s B、3s C、4s D、5s
3、一质量为1kg的物体被人用手由静止向上提升1m时，物体的速度是2m/s，下列说法中错误的是（g是10m/s2）（ ）
①提升过程中手对物体做功12J ②提升过程中合外力对物体做功12J
③提升过程中手对物体做功2J ④提升过程中物体克服重力做功10J
A．②③ B．①④ C．③④ D．②④
4、在光滑的平面上有一静止物体，现以水平恒力推这一物体。作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力推这一物体，当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32J，则在整个过程中，甲、乙两力做功之比是（ ）
A、1∶2 B、1∶3 C、1∶4 D、1∶1
5、质量为m的子弹，以水平速度v射入静止在光滑水平面上质量为M的木块，并留在其中，下列说法正确的是（ ）
①子弹克服阻力做的功与木块获得的动能相等
②阻力对子弹做的功与子弹动能的减少相等
③子弹克服阻力做的功与子弹对木块做的功相等
④子弹克服阻力做的功大于子弹对木块做的功
A．①④ B．②③ C．③ D．②④
6、光滑地面上放一长木板，质量为M，木板上表面粗糙且左端放一木块m，如图5—3—6所示，现用水平向右的恒力F拉木块，使它在木板上滑动且相对地面位移为s（木块没有滑下长木板）。在此过程中：（ ）
m
F
图5—3—6
M
A、若只增大m，则拉力F做功不变
B、若只增大m，则长木板末动能增大
C、若只增大M，则小木块末动能不变
D、若只增大F，则长木板末动能不变
7、质量为24kg的滑块，以4m/s的初速度在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间，滑块的速度方向变为向右，大小为4m/s。则在这段时间内水平力做的功为 。
8、某地强风风速约为v=20m/s，设该地的空气密度ρ=1.3kg/m3，如果把截面S=20m2的风的动能全部转化为电能，则利用上述已知量写出计算电功率的公式？电功率的大小约为多少瓦？（取一位有数字）
9、（1）试在下列简化情况下从牛顿定律出发，导出动能定理表达式：物体为质点，作用力为恒力，运动轨道为直线。要求写出每个符号以及所得结果中每项的意义。
图5—3—7
左
右
m
（2）如图5—3—7所示，一弹簧振子质量为m，它与水平桌面间的滑动摩擦系数为μ。起初，用手按住物块，物块的速度为零，弹簧的伸长量为x。然后放手，当弹簧的长度回到原长时，物块的速度为v，试用动能定理求此过程中弹力所做的功。

m
s=4.5m
v
图5—3—8
10、如图5—3—8所示，皮带的速度是3m/s，两轴心距离s=4.5m，现将m=1kg的小物体轻放在左轮正上方的皮带上，物体与皮带间的动摩擦因数为μ=0.15。电动机带动皮带将物体从左轮运送到右轮正上方时，电动机消耗的电能是多少？

第三节 动能 动能定理
当堂反馈
1、A 2、
强化训练
1、A 2、D 3、B 4、B 5、D 6、ABC 7、零 8、
9、 10、9J

7