Hermite插值.ppt

2.62.6 HermiteHermite插值插值 不少实际问题不但要求插值函数在节点上与原来的函数相等（满足插值条件）不少实际问题不但要求插值函数在节点上与原来的函数相等（满足插值条件），而且还要求在节点上的各阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式，称，而且还要求在节点上的各阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式，称为为HermiteHermite插值多项式记为插值多项式记为H H(x x)，本节主要讨论已知节点的函数值和一阶导数的本节主要讨论已知节点的函数值和一阶导数的情形。情形。设已知函数设已知函数y=f(x)在在n+1个互异节点个互异节点x0,x1,xn上的函数值上的函数值yi=f(xi)(i=0,1,2,n)和和导数值导数值y i=f (xi)(i=0,1,2,n)，要求一个不超过要求一个不超过2n+1次的多项式次的多项式H(x)，使其满足：使其满足：这样的这样的H H(x x)称为称为HermiteHermite插值多项式插值多项式。与与 Lagrange 分析分析完全类似完全类似误差估计：误差估计：与与 Lagrange 分析分析完全类似完全类似为确定为确定为确定为确定 (x x)，作辅助函数：作辅助函数：作辅助函数：作辅助函数：当当当当t t=x x时，使时，使时，使时，使 (x x)=0)=0 t t=x x,x x0 0,x x2 2为为为为 (t t)的一重零点，的一重零点，的一重零点，的一重零点，t t=x x1 1为二重零点。因此为二重零点。因此为二重零点。因此为二重零点。因此 (t t)共五共五共五共五重零点，反复使用罗尔中值定理（对重零点也适合）可得到：存在重零点，反复使用罗尔中值定理（对重零点也适合）可得到：存在重零点，反复使用罗尔中值定理（对重零点也适合）可得到：存在重零点，反复使用罗尔中值定理（对重零点也适合）可得到：存在 x x，使使使使 (4)(4)(x x)=0)=0，即即即即 ：由于由于由于由于H H(t t)是是是是t t 的三次多项式，的三次多项式，的三次多项式，的三次多项式，H H(4)4)(x x)=0)=0 注意到注意到注意到注意到x x x x1 1 1 1是是是是 的二次零点，的二次零点，的二次零点，的二次零点，x x x x0 0 0 0,x x x x2 2 2 2为其一次零点，为其一次零点，为其一次零点，为其一次零点，所以：所以：所以：所以：对对对对h h h hi i i i(x x x x)：x x x x=x x x xj j j j(j j j j i i i i)为其二重零点，故应含有因式为其二重零点，故应含有因式为其二重零点，故应含有因式为其二重零点，故应含有因式(x x x x x x x xj j j j)2 2 2 2(j j j j i i i i)，因此可以设为因此可以设为因此可以设为因此可以设为这样来确定这样来确定a a,b b较麻烦，引入较麻烦，引入l li i(x x),2,1,0(,1 0)(,0)(njjijixhxhjijiL=2(),2,1,0(0)(,1 0)()njxhjijixhjijiL=对对对对 :由于由于由于由于x x x x=x x x xj j j j(j j j j i i i i)为其二重零点，为其二重零点，为其二重零点，为其二重零点，x x x xi i i i为一重零点，故可设为一重零点，故可设为一重零点，故可设为一重零点，故可设 :特别地，当特别地，当特别地，当特别地，当n n=1=1时，有时，有时，有时，有:和引例类似，可导出和引例类似，可导出和引例类似，可导出和引例类似，可导出HermiteHermite插值的误差估计。插值的误差估计。插值的误差估计。插值的误差估计。定理定理定理定理 设设设设x x x x0 0 0 0,x x x x1 1 1 1,x x x xn n n n为区间为区间为区间为区间 a a a a,b b b b 上的互异节点，上的互异节点，上的互异节点，上的互异节点，为为为为f f f f(x x x x)的过这的过这的过这的过这组节点的组节点的组节点的组节点的2 2 2 2n n n n+1+1+1+1次次次次HermiteHermiteHermiteHermite插值多项式。若插值多项式。若插值多项式。若插值多项式。若f f f f(x x x x)在在在在 a a a a,b b b b 上上上上2 2 2 2n n n n+2+2+2+2连续可连续可连续可连续可导，则对导，则对导，则对导，则对 x x x x a a a a,b b b b 插值余项为：插值余项为：插值余项为：插值余项为：特别地，特别地，特别地，特别地，n n=1=1的的的的三次三次三次三次HermiteHermite插值插值插值插值余项为：余项为：余项为：余项为：于是上式于是上式于是上式于是上式 0 0这表明这表明这表明这表明HermiteHermite插值多项式是唯一的。插值多项式是唯一的。插值多项式是唯一的。插值多项式是唯一的。证明证明证明证明（反证法）假设另有一个（反证法）假设另有一个（反证法）假设另有一个（反证法）假设另有一个H H(x x)是满足相同插值要求的是满足相同插值要求的是满足相同插值要求的是满足相同插值要求的2 2n n+1+1 次次次次HermiteHermite多项式多项式多项式多项式推论推论1 1：不超过不超过不超过不超过2 2n n+1+1次的多项式在任意次的多项式在任意次的多项式在任意次的多项式在任意n n+1+1个互异节点上个互异节点上个互异节点上个互异节点上的的的的HermiteHermite插值多项式就是其自身。插值多项式就是其自身。插值多项式就是其自身。插值多项式就是其自身。对于推论对于推论对于推论对于推论2 2，事实上，可令，事实上，可令，事实上，可令，事实上，可令f f(x x)=1)=1，f f (x xi i)=0)=0，(i i=0,1,=0,1,n n)，显然显然显然显然满足这组插值条件，即得结论。满足这组插值条件，即得结论。满足这组插值条件，即得结论。满足这组插值条件，即得结论。设设设设x x0 0,x x1 1,x xn n为区间为区间为区间为区间 a a,b b 上互异节点，上互异节点，上互异节点，上互异节点，f f(x x)在在在在(a,b)(a,b)上上上上2n+22n+2阶阶阶阶导数存在，则上述导数存在，则上述导数存在，则上述导数存在，则上述HermiteHermite插值多项式是唯一的。插值多项式是唯一的。插值多项式是唯一的。插值多项式是唯一的。定理定理定理定理5.3 5.3 Quiz:给定给定 xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪个是下面哪个是 h2(x)的图像？的图像？x0-10.5123456yxy0-10.5123456斜率斜率=1 求求Hermite多项式的基本步骤：多项式的基本步骤：写出相应于条件的写出相应于条件的hi(x)、hi(x)的组合形式；的组合形式；对每一个对每一个hi(x)、hi(x)找出尽可能多的条件给出的根；找出尽可能多的条件给出的根；根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式；根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式；根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数；根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数；最后完整写出最后完整写出H(x)。例例 按下表求按下表求Hermite插值多项式：插值多项式：解法一解法一解法一解法一：这里有这里有这里有这里有5 5个条件，所以插值多项式不超过个条件，所以插值多项式不超过个条件，所以插值多项式不超过个条件，所以插值多项式不超过4 4次，用次，用次，用次，用构造插值基函数构造插值基函数构造插值基函数构造插值基函数h hi i(x x)()(i i=0,1,2)=0,1,2)和和和和 (i i=0,1)=0,1)的方法，它们的方法，它们的方法，它们的方法，它们分别应满足：分别应满足：分别应满足：分别应满足：解法解法解法解法2 2 2 2:x x x x=0=0=0=0为二阶零点，故可设插值多项式为为二阶零点，故可设插值多项式为为二阶零点，故可设插值多项式为为二阶零点，故可设插值多项式为 代入条件：代入条件：代入条件：代入条件：所求四次所求四次所求四次所求四次HermiteHermite插值多项式为：插值多项式为：插值多项式为：插值多项式为：解法解法解法解法3:3:还可直接设五次方程求解还可直接设五次方程求解还可直接设五次方程求解还可直接设五次方程求解例例Hermite插值举例（续）插值举例（续）设：已知函数设：已知函数设：已知函数设：已知函数f f(x x)的如下值的如下值的如下值的如下值:f f(-1)=-2(-1)=-2，f f(0)=-(0)=-1 1，f f(1)=0(1)=0，f f (0)=0(0)=0，求不超过求不超过求不超过求不超过3 3次的次的次的次的HermiteHermite插值多项式插值多项式插值多项式插值多项式