考点跟踪训练48几何型综合问题.doc

考点跟踪训练48　几何型综合问题
一、选择题
1．(2011·潜江)如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE等于(　　)

A．23° B．16°
C．20° D．26°
答案　C
解析　∵AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC＝46°.
∵EF∥CD，
∴∠ECD＋∠CEF＝180°，∠ECD＝26°，
∴∠BCE＝∠BCD－∠ECD＝46°－26°＝20°.

2．(2011·枣庄)如图，这是一个正面为黑、反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘使其颜色一致，那么应该选择的拼木是(　　)

答案　B
解析　把B旋转之后平移，可以拼满拼木盘．

3．(2011·桂林)如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3, AC＝4，则sin A的值为(　　)

A. B. C. D.
答案　C
解析　在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
所以AB＝5，sinA＝＝.

4．(2011·福州)如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝6，DF＝4，则菱形ABCD的边长为(　　)

A．4 B．3 C．5 D．7

答案　D
解析　根据图形的轴对称性，得BE＝DF＝4，所以EF＝EB＋BD＋DF＝14，如图，连MN，则MN＝EF＝14，OM＝AD＝MN＝×14＝7.

5.(2011·鸡西)如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝3，ED＝4，则AB的长为(　　)

A．3 B．2 C. D．3
答案　C
解析　∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C.
∵∠C＝∠D，
∴∠ABC＝∠D.
又∵∠BAE＝∠DAB，
∴△ABE∽△ADB.
∴＝，AB2＝AE·AD＝3×(3＋4)＝21，
∴AB＝.
二、填空题

6．(2011·盐城)将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是__________．

答案　等腰梯形
解析　观察图形，易知AD∥BC，AD≠BC，且∠ABC＝∠DCB＝60°，所以四边形ABCD是等腰梯形．

7．(2011·黄石)有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图．将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为__________．

答案　AB＝2BC
解析　设乙纸条宽为a，则甲纸条宽为2a，平行四边形的面积S＝AB·a或S＝BC·2a，所以AB·a＝BC·2a，AB＝2BC.

8．(2011·宁波)如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC 内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC＝________cm.

答案　8
解析　延长ED交BC于F，
∵∠EBC＝∠E＝60°，
∴△BFE是等边三角形，BE＝BF＝EF＝6.

延长AD交BC于G.
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AG⊥BC.
在Rt△DFG中，DF＝6－2＝4.
∴GF＝DF＝2，
∴BG＝6－2＝4，BC＝2BG＝2×4＝8.
9．(2011·呼和浩特市)如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE＝2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为__________．

答案　

解析　分别延长BA、CD交于F，易证△CBE≌△CFE，所以BE＝FE，又BE＝2AE，则FE＝2AE，FA＝EA.由AD∥BC，得△FAD∽△FBC，S△FBC＝16S△FAD.
设S△FAD＝x，则S△FEC＝1＋x，S△FBC＝2＋2x.
∴2＋2x＝16x.14x＝2，x＝.
故S梯形ABCD＝16×－＝.
10．(2011·盐城)如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40 cm，灯罩BC长为30 cm，底座厚度为2 cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE________cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据：≈1.732)

答案　51.6

解析　过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G.
在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，
∴CF＝BC·sin 30°＝30×＝15.
在Rt△ABG中，∠BAG＝60°，
∴BG＝AB·sin 60°＝40×＝20 .
∴CE＝CF＋FD＋DE＝15＋20 ＋2＝17＋20 ≈51.64≈51.6(cm).
三、解答题
11．(2011·北京)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长．

解　 ∵ACB＝90°，DE⊥BC，
∴ AC∥DE.
又∵ CE∥AD，
∴ 四边形ACED是平行四边形，
∴ DE＝AC＝2.
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD＝＝2 .
∵ D是BC的中点，
∴ BC＝2CD＝4 .
在Rt△ABC中，
由勾股定理得AB＝＝2.
∵ D是BC的中点，DE⊥BC，
∴ EB＝EC＝4，
∴ 四边形ACEB的周长＝AC＋CE＋EB＋BA＝10＋2.
12．(2011·南京)如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
(1)如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E.试说明E是△ABC的自相似点；
(2)在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C.
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹)；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

解　(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴CD＝AB，∴CD＝BD.
∴∠BCE＝∠ABC.
∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，
∴∠BEC＝∠ACB.
∴△BCE∽△ACB.
∴E是△ABC的自相似点．
(2)①如图所示，作法如下：
(i)在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；
(ii)在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC，BD交CE于点P.
则P为△ABC的自相似点．
②连接PB、PC.
∵P是△ABC的内心，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB.
∵P为△ABC的自相似点，
∴△BCP∽△ABC.
∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠A，
∠ACB＝2∠BCP＝4∠A.
∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴∠A＋2∠A＋4∠A＝180°.
∴∠A＝.
∴该三角形三个内角的度数为： 、、.
13．(2011·天津)在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A(3,0)，B(0,4)．以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD.记旋转转角为α，∠ABO为β.
(1)如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；
(2)如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系；
(3)当旋转后满足∠AOD＝β时，求直线CD的解析式．(直接写出结果即可)

解　(1)∵点A(3,0)，B(0,4)，得OA＝3，OB＝4.
∴在Rt△ABO中，由勾股定理，得AB＝5.
根据题意，有DA＝OA＝3.

如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，则MD∥OB.
∴△ADM∽△ABO.
∴＝＝，
得AM＝·AO＝，
DM＝·BO＝.

又∵OM＝OA－AM，得OM＝3－＝，
∴点D的坐标为(，)．

(2)如图②，由己知，得∠CAB＝α，AC＝AB，
∴∠ABC＝∠ACB.
∴在△ABC中，由∠ABC＋∠ACB＋∠CAB＝180°，
得α＝180°—2∠ABC.
又∵BC∥x轴，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝90°—∠ABO＝90°—β，
∴α＝2β.
(3)直线CD的解析式为：y＝－x＋4或y＝x－4.