江西省宜春市五校2013届高三上学期12月联考理科数学试题.doc

江西省宜春市五校2013届高三上学期12月联考
数学理试题
一：选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A＝{2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈B，且logxy∈N*}，则C中元素个数是(　　)
A．9 B．8 C．3 D．4
2.下列选项中，说法正确的是( )
A．命题“若，则”的逆命题是真命题；
B．设是向量，命题“若，则”的否命题是真命题；
C．命题“”为真命题，则命题p和q均为真命题；
D．命题”的否定是“”.
3.已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能 推出 的是（ ）
A．，且 B.∥，且
C.，且∥ D.，且∥
4.已知平面直角坐标系内的两个向量＝(1,2)，＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成＝λ＋μ(λ，μ是实数)，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)
5．已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于
A．30 B．45 C．90 D．186
6.函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象
（A）向右平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位
（C）向左平移个长度单位 （D）向左平移个长度单位
7.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则与平面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
8．若，恒成立，则△ABC的形状一定是 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
9.设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为 ( )
A． B． C． D．不能确定
10.函数，其在点处的切线为，轴和直线分别交于点，又点，若的面积为时的点恰好有两个，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、 填空题（本大题共5小题，每小题5分，25分。将答案填在答题卡相应位置上。）
11. 若对任意恒成立，则a的取值范围是________
12.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是＿＿＿

13.已知函数.项数为17的等差数列满足，且公差.若，则当=__________时，.
14.一个盛满水的无盖三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞且知，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的 倍
15.记函数的导数为，的导数为的导数为。若可进行次求导，则均可近似表示为：

若取，根据这个结论，则可近似估计自然对数的底数 （用分数表示）
三、解答题（本大题共6小题，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本题12分）
两非零向量满足：垂直，集合是单元素集合。
（1）求的夹角
（2）若关于的不等式的解集为空集，求实数的值。

17.（本题12分）
在中，设角的对边分别是，，．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)若,求的面积．

18.（本题12分）
已知数列满足，，
（Ⅰ）设的通项公式；
（Ⅱ）求为何值时，最小（不需要求的最小值）

19.（本题12分）
已知几何体E－ABCD如图D7－13所示，其中四边形ABCD为矩形，△ABE为等边三角形，且AD＝，AE＝2，DE＝，点F为棱BE上的动点．
(1)若DE∥平面AFC，试确定点F的位置；
(2)在(1)的条件下，求二面角E－DC－F的余弦值．

20.（本题13分）
某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量z（吨）之间的函数关系可近似的表示为：

且每处理一二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．
（I）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？
（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

21.（本题14分）
已知函数
（1）若x=2为的极值点，求实数a的值；
（2）若在上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）当时，方程有实根，求实数b的最大值。

宜春市2013届五校联考
数学（理）试题参考答案
一：选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
C
C
A
A
B
C
B

二填空题
11： 4 12： 13：9 14： 15：
三：解答题

18：解（I）

即数列{bn}的通项公式为.......................6分
（Ⅱ）若最小，则.........8分
注意n是正整数，解得8≤n≤9
∴当n=8或n=9时，an的值相等并最小................................12分

19：解：(1)连接BD交AC于点M，若DE∥平面AFC，
则DE∥FM，点M为BD中点，则F为棱BE的中点．..............4分
(2)AD＝，AE＝2，DE＝，∴DA⊥AE.
又四边形ABCD为矩形，∴DA⊥面ABE.
方法1：以AB中点O为坐标原点，以OE为x轴，以OB为y轴，以OM为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则＝(，1，－)，＝(，－1，－)，
设平面DCE的法向量n＝(x，y，z)，
∴
令x＝1，则n＝(1,0,1)．
＝，＝.
设平面DCF的法向量m＝(x，y，z)．

令x＝2，则m＝(2,0,1)．
设二面角E－DC－F的平面角为θ，cosθ＝＝....................12分

方法2：设二面角E－DC－A的平面角为α，
取AB中点O，CD中点N，
EO⊥平面ACD，ON⊥CD，∴∠ONE就是二面角E－DC－A的平面角.....6分
∴∠ONE＝α，tanα＝1.........................8分
同理设二面角F－DC－A的平面角为β，
tanβ＝.......................................................10分
设二面角E－DC－F为θ，θ＝α－β，∴tanθ＝，∴cosθ＝........12分

21：(1)解：........1分
因为x = 2为f (x)的极值点，所以.................................2分
即，解得：a = 0............................................3分
又当a = 0时，，从而x = 2为f (x)的极值点成立．............4分
(2)解：∵f (x)在区间[3，+∞)上为增函数，
∴在区间[3，+∞)上恒成立．..........5分
①当a = 0时，在[3，+∞)上恒成立，所以f (x)在[3，+∞)上为增函数，故a = 0符合题意．.........................................................6分
②当a≠0时，由函数f (x)的定义域可知，必须有2ax + 1 > 0对x≥3恒成立，故只能a > 0，
所以在区间[3，+∞)上恒成立．.................7分
令，其对称轴为........................8分
∵a > 0，∴，从而g (x)≥0在[3，+∞)上恒成立，只要g (3)≥0即可，
由，解得：......................9分
∵a > 0，∴．
综上所述，a的取值范围为[0，]......................................10分
(3)解：时，方程可化为，．
问题转化为在(0，+∞)上有解...............................11分
令，则.......................12分
当0 < x < 1时，，∴h (x)在(0，1)上为增函数
当x > 1时，，∴h (x)在(1，+∞)上为减函数
故h (x)≤h (1) = 0，而x > 0，故
即实数b的最大值是0．.....................................................14分

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