中考复习专题《函数型综合应用问题》.doc

中考复习专题《函数型综合应用问题》
考题透视镜
1、“靠近课本，贴近生活，联系实际”是近年中考应用题编题原则，因此在广泛的社会生活、经济生活中抽取靠近课本数学模型是近年来中考题几道用待定系法求解析问题，但这类问题蕴含有代入消元法等重要的数学思想方法，又极易与方程、不等式、几何等初中数学中的重要知识相隔合。因此以模型编制应用题又将是中考的一个“亮点”。这类问题的综合强，难度大，现举例浅析，以揭示其一般解法：
例1、近期，海峡两岸关系的气氛大为改善。大陆相关部门于2005年8月1日起对原产台湾地区的15种水果实施进口零关税措施，扩大了台湾水果在大陆的销售。某经销商销售了台湾水果凤梨，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：
每千克售价（元）
38
37
36
35
…
20
每天销量（千克）
50
52
54
56
…
86
设当单价从38元/千克下调了元时，销售量为千克；
（1）写出与间的函数关系式；
（2）如果凤梨的进价是20元/千克，某天的销售价定为30元/千克，问这天的销售利润是多少？
（3）目前两岸还未直接通航，运输要绕行，需耗时一周（七天），凤梨最长的保存期为一个月（30天），若每天售价不低于30元/千克，问一次进货最多只能是多少千克？
解：（1）
（2）销售价定位30元/千克时,

∴ 这天销售利润是660元
（3）设一次进货最多千克

∴一次进货最多不能超过1518千克。

例2、某住宅小区计划购买并种植500株树苗，某树苗公司提供如下信息：
信息一：可供选择的树苗有杨树、丁香树、柳树三种，并且要求购买杨树、丁香树的数量相等。

信息二：如下表：
树苗
杨树
丁香树
柳树
每棵树苗批发价格（元）
3
2
3
两年后每棵树苗对空气的净化指数
0.4
0.1
0.2

设购买杨树、柳树分别为株、株.
(1) 用含的代数式表示；
(2)若购买这三种树苗的总费用为w元，要使这500株树苗两年后对该住宅小区的空气净化指数之和不低于120，试求w的取值范围.
解:⑴.
（2）根据题意,得
解这个不等到式组得:100≤x≤200
∵

又 ∵w随x的增大而减小，并且100≤x≤200，
∴-200+1200≤w≤-100+1200，即1000≤w≤1100
从上面几个例题可以看出,这类问题的一般解法是充分以挥第一个函数的作用,利用它的值或解析式,再结合题中的其他等量关系,将它们结合成新的函数.然后利用求得的新函数解析式,或其图象、性质、自变量取值范围解决相关的实际问题。
2分段函数应用题
例3、甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的电器，但是各自推出的优惠方案不同．甲商场规定：凡购买超过1000元电器的，超出的金额按90%实收；乙商场规定：凡购买超过500元电器的，超出的金额按95%实收．顾客怎样选择商场购买电器能获得更大的优惠？
解：设顾客所购买电器的金额为x元，由题意得：
当0＜x≤500时，可任意选择甲、乙两商场；
当500＜x≤1000时，可选择乙商场；
当x＞1000时，
甲商场实收金额为：y甲＝1000＋(x－1000)×0.9（元）
乙商场实收金额为：y乙＝500＋(x－500)×0.95 （元）
①若y甲＜y乙时，即：1000＋(x－1000)×0.9＜500＋(x－500)×0.95
0.9x＋100＜0.95x＋25
　　　　 　　　－0.05x＜－75
x＞1500
所以，当x＞1500时，可选择甲商场．
②若y甲＝y乙时，即： 1000＋(x－1000)×0.9＝500＋(x－500)×0.95
0.9x＋100＝0.95x＋25
　　　　　　　　　－0.05x＝－75
x＝1500
所以，当x＝1500时，可任意选择甲、乙两商场．

③若y甲＞y乙时，即：1000＋(x－1000)×0.9＞500＋(x－500)×0.95
0.9x＋100＞0.95x＋25
　　　　　　　－0.05x＞－75
x＜1500
所以，当x＜1500时，可选择乙商场．
综上所述，顾客对于商场的选择可参考如下：
（1）当0＜x≤500或x＝1500时，可任意选择甲、乙两商场；
（2）当500＜x＜1500时，可选择乙商场；
（3）当x＞1500时，可选择甲商场．

例4、我市某乡两村盛产柑桔，村有柑桔200吨，村有柑桔300吨．现将这些柑桔运到两个冷藏仓库，已知仓库可储存240吨，仓库可储存260吨；从村运往两处的费用分别为每吨20元和25元，从村运往两处的费用分别为每吨15元和18元．设从村运往仓库的柑桔重量为吨，两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为元和元．
（1）请填写下表，并求出与之间的函数关系式；
收
地
运
地

总计

吨

200吨

300吨
总计
240吨
260吨
500吨
（2）试讨论两村中，哪个村的运费较少；
（3）考虑到村的经济承受能力，村的柑桔运费不得超过4830元．在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．

（1）解：
收
地
运
地

总计

吨
吨
200吨

吨
吨
300吨
总计
240吨
260吨
500吨

，
（2）当时，；
　　 当时，；
　　 当时，．
当时，即两村运费相等；当时，即村运费较少；当时，即村费用较少。
（3）由得

　　设两村运费之和为，．
　　即：．
又时，随增大而减小，
　当时，有最小值，（元）．
答：当村调往仓库的柑桔重量为50吨，调往仓库为150吨，村调往仓库为190吨，调往仓库110吨的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元。
由以上的几个例子我们可以看出，解分段函数型应用题的关键是能根据题意建立自变量在不同取值范围内所对应的函数解析式，然后再选择满足题设条件的某段函数解析式去解决相应的问题。

3、函数实际背景性应用题
例5、目前农村劳动力大量流向城市,某村庄共有100名劳动力,如果在农村种地,平均每人全年可创造产值m元,现在村委会决定从中分流若干人进城打工.假设分流后,继续从事农业生产的劳动力平均每人全年创造的农业产值可增加20%,而分流到城市打工的人员平均每人全年可创造产值3.5m元,如果要保证分流后,该村农业全年的总产值不少于分流前农业全年的总产值,而进城打工人员全年创造的总产值不少于分流前该村农业全年的总产值的一半.请你帮助村主任算一下应该分流多少人进城打工.

解:设应该分流x人进城打工.根据题意,得

解得:
因为x为整数,所以x=15或16.………………8分
答: 应该分流15人或16人进城打工.………………9分

例6、基公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14．5万元；每件乙种商品进价8万元，售价lO万元，且它们的进价和售价始终不变．现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元．
(1)该公司有哪几种进货方案?
(2)该公司采用哪种进货方案可获得最大利润?最大利润是多少?
(3)若用(2)中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案．

解：(1)设购进甲种商品茗件，乙种商品(20-x)件．
190≤12x+8(20-x)≤200
解得7.5≤x≤10．
∵ x为非负整数，∴ x取8，9，lO
有三种进货方案：购甲种商品8件，乙种商品12件
购甲种商品9件，乙种商品ll件
购甲种商品lO件，乙种商品10件
(2)购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润
最大利润是45万元；
(3)购甲种商品l件，乙种商品4件时，可获得最大利润
例7、为保证交通安全，汽车驾驶员必须知道汽车刹车后的停止距离（开始刹车到车辆停止车辆行驶的距离）与汽车行驶速度（开始刹车时的速度）的关系，以便及时刹车．
下表是某款车在平坦道路上路况良好时刹车后的停止距离与汽车行驶速度的对应值表：
行驶速度（千米／时）

停止距离（米）

（1）设汽车刹车后的停止距离（米）是关于汽车行驶速度（千米／时）的函数，给出以下三个函数：①；②；③，请选择恰当的函数来描述停止距离（米）与汽车行驶速度（千米／时）的关系，说明选择理由，并求出符合要求的函数的解析式；
（2）根据你所选择的函数解析式，若汽车刹车后的停止距离为米，求汽车行驶速度．
解：（1）若选择，把与分别代入得
，解得，
而把代入得，
所以选择不恰当.
若选择，由对应值表看出随的增大而增大，
而在第一象限随的增大而减小，所以不恰当;
若选择，把与分别代入得
，解得，
而把代入得成立，
所以选择恰当，解析式为.
（2）把代入得，
即，
解得或（舍去），
所以，当停止距离为70米，汽车行驶速度为100千米／时．
例8、某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个；
（1）假设销售单价提高元，那么销售每个篮球所获得的利润是 元；这种篮球每月的销售量是 个；（用含的代数式表示）（4分）
（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？（8分）
解：（1），
（2）设月销售利润为元 ，由题意得：
整理得：
当时，有最大值9000

答：8000元不是最大利润，最大利润是9000元，此时篮球售价为70元；

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