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第五节 功能关系 综合与拓展
机 械 能
基本概念
和物理量
功：W=F·scosα
功率：P= ，P=F·vcocα
动能：Ek=
重力势能 ：Ep=mgh
（弹簧势能）
基本规律
动能定理：W总=△Ek ，
重力做功与重力势能的关系：WG= —△Ep=mgh起—mgh终
机械能守恒定律：
条件

表达式
功和能的关系：W=ΔE（W是除了重力、弹力以外的力做的总功）
基本方法
基本思路
总功的计算：
W=F合·scosα

W=F1·s1cosα1 +F2·s2cosα2+ F3·s3cosα3+……
滑动摩擦力的功：
WFμ=—Fμ·s（s为物体的路程）
相互作用的一对滑动摩擦力的功：
W=— f·s相
变力做功的求解：
W=·scosα（为力对位移的平均值）
W=p·t
能量转换法

图线法
[知识网络]

[考点聚焦]
1、做功的过程就是能量的转化过程。做了多少功，就有多少能量发生了转化。功是能量转化的量度。
2、合外力的功等于物体动能的增量，即：W总=△Ek。
3、重力做功，重力势能减少；克服重力做功，重力势能增加。由于“增量”是终态量减去始态量，所以重力的功等于重力势能增量的负值，即：WG= —△Ep。
4、弹簧的弹力做的功等于弹性势能增量的负值，即：W弹= —△E弹。
5、除系统内的重力和弹簧的弹力外，其它力做的总功等于系统机械能的增量，即：
W其它=△E机。
6、滑动摩擦力做功有以下特点：
①滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，还可以不做功。
②一对滑动摩擦力做功的过程中能量的转化有两种情况：一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能，转化为内能的量值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积。
③相互摩擦的系统内，一对滑动摩擦力所做功总是负值，其绝对值恰等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，即恰等于系统损失的机械能。

[好题精析]
例1、行驶中的汽车制动后滑行一段距离，最后停下；流星在夜空中坠落并发出明亮的火焰；降落伞在空中匀速下降；条形磁铁在下落过程中穿过闭合线圈，线圈中产生电流，上述不同现象中所包含的相同的物理过程是 （ ）
A、 物体克服阻力做功
B、 物体的动能转化为其它形式的能量
C、 物体的势能转化为其它形式的能量
D、 物体的机械能转化为其它形式的能量
[解析]本题考查了不同的物理过程中能量转换及做功的共同点；汽车制动最后停下来是克服制动阻力做功，机械能减少；流星坠落发光是克服空气阻力做功的结果，机械能亦减少；降落伞在空中匀速下落，克服空气阻力做功，机械能减少；磁铁下落穿过线圈，线圈产生的电流的磁场阻碍磁铁下落，所以磁铁要克服这种阻力做功使机械能转换为电能，所以四种现象的共同特征是选项中的A和D。
[答案]AD
[点评]功是对能量转换的量度，是能量转化的一种形式，不同的能量转化对应不同的做功过程，研究功能关系时，正确把握功与能量转换的对应关系就能得到正确的答案。
图5—5—1
例2．如图5—5—1所示，物体以100J的初动能从斜面底端向上运动，中途第一次通过斜面上M点时，其动能减少了80J，机械能减少了32J。则当物体沿斜面重新返回底端时，其动能为 J。
[解析]物体沿斜面上滑的过程中，克服摩擦力做的功等于
物体机械能的减少量，即 ①
设物体在上滑过程中动能的减少量为△Ek，由动能定理得
即 ②
由①②得 即在上滑过程中，物体减少的机械能和减少的动能之比为定值，并且
物体到达最高点时动能减少了100J，减少的机械能为
由此可知，物体在上滑过程中克服摩擦力做的功为40J。由于物体下滑时摩擦力大小和位移大小没变，所以，下滑过程中克服摩擦力做的功也是40J。即在全过程中物体损失的机械能为80J，物体返回底端是动能为20J。
[答案] 20J
图5—5—2
[点评]解答本题要注意两点：（1）物体与斜面间的动摩擦因素一定，正压力一定，故物体上滑、下滑过程的滑动摩擦力大小相等而方向相反，摩擦力始终做负功；（2）重力做功与路径无关的特点的应用。

例3．如图5—5—2所示，长为L的轻质杆两端有质量均为m的两个相同的小球A和B，A靠在竖直壁上，B与地接触，两处均不计摩擦，开始时杆与水平成600角，放手后A下滑、B右滑。问：当θ为多大时A刚好脱离壁？此刻vB多大？
[解析]A下滑B右滑过程，只有重力对A、B系统做功，故系统机械能守恒。将A、B视为一个系统，由机械能守恒定律得 ①
将vA和vB均向杆的方向投影，应有 ②
由①、②联立得

令，则
，∴当a=b=c时，abc有最大值， ∴有最大值。

∴时，为最大值。当A受壁的水平作用力为N减小为零时，系统水平速度不再增大，vB也不再增大，所以vB最大时A脱离竖直壁。
[点评]解答本题需要注意（1）可以通过求变加速运动的临界速度求物体的临界受力状态；（2）连接体运动中，；两个物体速度关系可由约束条件确定。
例4．一辆汽车通过如图5—5—3所示中的细绳提起井中质量为m的物体，开始时，车在A点，绳子已经拉紧且是竖直，左侧绳长为H。提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C。设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为v。求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功。设绳和滑轮的质量及摩擦不计，滑轮尺寸不计。
B
A
P
m
Q
H
H
图5—5—3

[解析]本题中汽车和重物构成连接体，但解题通常取重物作为研究对象，根据动能定理列方程： ①
vy
vx
v
图5—5—3（a）
要想求出结果，必须弄清重物位移h和汽车位移H的关系；重物速度v/‘和汽车在B 点速度v的关系。根据几何关系得出 ②
由于左边绳端和车有相同的水平速度v，v可分解成沿绳子方向和垂直绳子方向的两个分速度，如图5—5—4（a）所示。看出 ③
将③式和②式代入①式即可解得。
[点评]对于连接体运动，分析两物体间的位移关系、速度关系是解题的关键，解题时应充分注意。
例5、一传送带装置如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板组成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切，现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速度为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L，每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动），已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N，这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦，求电动机的平均输出功率。
C
B
A
D
L
L
图5-5-4

【解析】以地面为参考系（下同），设传送带的运动速度为v0，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为s，所用时间为t，加速度为a，则对小箱有
①
v0＝at ②
在这段时间内，传送带运动的路程为
s0＝v02 ③
由以上可得
s0＝2s ④
用f表示小箱与传送带之间得滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为
A=fs＝ ⑤
传送带克服小箱对它得摩擦力做功
⑥
两者之差就是克服摩擦力做功发出得热量
⑦
可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。
T时间内，电动机输出的功为
⑧
此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即
⑨
已知相邻两小箱的距离为L，所以
v0t＝NL ⑩
联立⑦⑧⑨⑩，得

【点评】本题时一道高考试题，本题考查得内容多，综合性强，思维分析能力要求高。解本题须把握以下几点：①运动过程分析；②不同运动过程得能量转换分析；③物体空间位置的几何特征与物体运动的位移关系。

[当堂反馈]
图5—5—5
1、如图5—5—5所示，物体在光滑的水平面上匀速运动时具有的动能为20J，然后物体碰到一轻质弹簧上并挤压弹簧，当弹簧被挤压到最短时，弹簧的弹性势能为 J，在物体挤压弹簧的过程中，物体克服弹力做的功为 J。然后物体又被弹簧弹回，物体离开弹簧后所具有的动能为 J，在物体被弹回的过程中弹力对物体做的功为 J。
F
图5—5—6
2、一个小滑块在如图5—5—6所示的凹形斜面上，用力F沿斜面向下拉小滑块，小滑块沿斜面运动了一段距离。若已知在这过程中，拉力F所做的功的大小（绝对值）为A，斜面对滑块的作用力所做的功的大小为B，重力做功的大小为C，空气阻力做的功为D。当用这些量表达时，小滑块的动能的改变（指末态动能减去初态动能）等于 。滑块的重力势能的改变等于 ；滑块机械能（指动能与重力势能之和）的改变等于 。
[强化训练]
1．一物体获得一竖直向上的初速度从某点开始向上运动，运动过程中加速度始终竖直向下为4m/s2，则正确的说法是（ ）
A、上升过程中物体的机械能不断增加重力势能增加
B、下降过程中物体的机械能不断增加，重力势能减少
C、整个过程中物体的机械能不变
D、物体下落回抛出点的机械能和抛出时的机械能相等
2、下列关于功和能的说法正确的是 （ ）
A．功就是能，能就是功 B．物体做功越多，物体的能就越大
C．外力对物体不做功，这个物体就没有能量
D．能量转化的多少可用功来量度
图5—5—7
O
A
B
C
3、如图5—5—7所示，一轻弹簧一端系在墙上的O点，自由伸长到B点，今将一质量为m的木块靠着弹簧，将弹簧压缩到A点，然后释放，小木块能在水平面上运动到C点而静止，AC距离为s；若将小木块系在弹簧上，在A点由静止释放，则小木块将做阻尼运动到最后静止，设小木块通过总路程为l，则下列答案中正确的是哪一个？（唯一答案）（ ）
A．＞s B．=s C．＜s D．以上B、C都有可能
4、在平直公路上以一般速度（约为5m/s）行驶的自行车所受阻力为车和人总重量的0.02倍，则骑车人的功率是接近于（车和人的总重量约为100kg）（ ）
A．0.1kw B．1×103kw C．1kw D．10kw
5、水平传送带匀速运动，速度大小v，现将一小工件轻轻放在传送带上，它将在传送带上滑动一小段距离后，速度才达到v，而与传送带相对静止，设小工件质量为m，它与传送带间的动摩擦因素为μ，在m与皮带相对运动的过程中 （ ）
A．工件是变加速运动 B．滑动摩擦力对工件做功

C．工件相对传送带的位移大小为 D．工件与传送带因摩擦产生的内能为
图5—5—8
6、如图5—5—8所示，一物体从圆弧形曲面的A点自由滑下，由于摩擦阻力的作用到达C点，速度为零，C点比A点下降h1；又由C点滑到B点，速度再次为零，B点比C点下降h2，则h1与h2比较有（ ）
A．h1＞h2 B． h1＜h2 C． h1=h2 D．无法比较
图5—5—9
m
M
F
7、如图5—5—9所示，在光滑的水平面上，有一质量为M的长木板在水平拉力的作用下以一定初速度向右匀速运动，将质量为m的小铁块无初速度地轻放在木板的前端。设小铁块与木板间的动摩擦因素为μ，当小铁块在木板上相对木板滑动L时与木板保持相对静止，此时小铁块对地位移s，在这个过程系统产生的热量为 。

图5—5—10
8、在“验证机械能守恒定律”的实验中，已知打点计时器所用电源的频率为50Hz。查得当地的重力加速度g=9.80m/s2，所用的重物的质量为m（kg），实验中得到一条点迹清晰的纸带，如图5—5—10所示把第一个点记作O，另外连续的4个点A、B、C、D作为测量的点，经测量知道A、B、C、D各点到O点的距离分别为62.99cm、70.18cm、77.76cm、85.73cm，根据以上数据，可知重物欲打O点运动到打C点，重力势能减少量等于 J，动能的增加量等于 J。（取3位有效数字）
图5—5—11
9．如图5—5—11所示，AB与CD为两个对称斜面，其上部足够长，下部分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为1200，半径R为2.0m，一个物体在离弧底E高度为h=3.0m处，以初速度4.0m/s沿斜面运动。若物体与两斜面的动摩擦因素为0.02，则物体在斜面上（不包含圆弧部分）一共能走多长路程？（g取10m/s2）

10．如图5—5—12长为L=1.0m.质量为M=1.0Kg的木板，静止于光滑的水平面上。在长木板的左端有一个质量为m=1.0Kg的小木块（可视为质点），现用水平向右的恒力F=20N作用于小木块，使其由静止向右运动，作用一段距离后撤去水平力F，最终小木块运动到长木板的右端。已知小木块与长木板间的动摩擦因数为μ=0.5，g=10m/s2，水平力F做功W 为多少？
M
m
图5-5-12

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