湖北省新洲一中、红安一中、麻城一中2013年高三上学期期末联考文科数学试题.doc

新洲一中 红安一中 麻城一中2013年高三上学期期末联考
文科数学试卷
命题学校：麻城一中 命题教师：肖玉训
考试时间：2013年1月21日 15：00—17：00 试卷满分：150分
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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合A={x||x－1|≤2}，B={x|x2－4x>0，x∈R}，则A∩（CRB）= ( )
A. [－1，3] B. [0，3] C. [－1，4] D. [0，4]
2. i为虚数单位，如果z=a2+2a－3+(a2－4a+3)i为纯虚数，那么实数a的值为( )
A. 1 B. 3或－1 C. －3 D. 1或－3
3. 函数f (x)=x+ln(x－1)的零点所在的区间为 ( )
A. （1，） B. （，2） C. （2，e） D. (e，+∞)
4. 等差数列{an}的前n项和为Sn . 已知a5=8，S3=6，则a9= ( )
A. 8 B. 12 C. 16 D. 24
5. 抛物线y=4x2的准线方程为 ( )
A. B. C. D.
6. 某三棱柱侧棱和底面垂直，底面边长均为a，侧棱长为2a，其体积为，若它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ( )
A. 4 B.
第6题图
C. 8 D.
7. 从1，2，3，4四个数字中任取两个数求和，则和恰为偶数的概率是 ( )
A. B. C. D.
8. 将函数y=cos(x－)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式是 ( )
A. y=cosx B. y=cos(2x－) C. y=sin(2x－) D. y=sin(x－)
9. 某程序框图如图所示，若输出结果是126，则判断框中可以是 ( )
A. i>6? B. i>7?
C. i≥6？ D. i≥5?
10. 对于函数f (x)和g(x)，其定义域为[a, b]，若对任意的x∈[a, b]总有 |1－|≤，则称f (x)可被g(x)置换，那么下列给出的函数中能置换f (x)= x∈[4，16]的是 ( )
第9题图
A. g(x)=2x+6 x∈[4，16] B. g(x)=x2+9 x∈[4，16]
C. g(x)= (x+8) x∈[4，16] D. g(x)=(x+6) x∈[4，16]
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡相应题号后的横线上，答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.
11. 对某商店一段时间内的顾客人数进行了统计，得到了样本
的茎叶图（如图所示），则该样本中的中位数为_________，
众数为_________。
第11题图
12. 学校为了调查学生的学习情况，决定用分层抽样的方法从
高一、高二、高三三个年级的相关学生中抽取若干人，相关数据如下表：

相关学生
抽取人数
高一学生
56
b
高二学生
a
3
高三学生
35
5
则抽取的总人数为_________.
13. 设双曲线4x2－y2=1的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包括边界）为E， P（x, y）为该区域内的一动点，则目标函数z=x－2y的最小值为________.
14. 若不等式|x－a|<3成立的一个充分条件是0<x<4，则实数a的取值范围是_________.
15. 海中有一小岛，周围n mile内有暗礁，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东60°，航行6 n mile以后，望见这岛在北偏东30°. 如果这艘海轮不改变航向继续前行，则经过________n mile后海轮会触礁.
16. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，直线l：x+y－4=0，点B(x,y)是圆C：x2+y2-2x-1=0上的动点，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E，则线段DE的最大值是________.
17. 在如图所示的数表中，第i行第j列的数记为ai，j，且满足a1，j=2j－1，ai，1=i，ai+1，j+1=ai，j+ai+1，j (i, j∈N*)；又记第3行的数3，5，8，13，22，39……为数列{bn}，则
第17题图
(1)此数表中的第2行第8列的数为_________.
(2)数列{bn}的通项公式为_________.
三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤.
18. (本小题满分12分)已知在锐角△ABC中，a, b, c分别为角A、B、C所对的边，向量，，.
(1)求角A的大小；
(2)若a=3，求△ABC面积的最大值.

19. (本小题满分12分)
如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4. 将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.
(1)求证：AB⊥DE；
第19题图
(2)求三棱锥E—ABD的侧面积.

20. (本小题满分13分)已知数列{an}的首项a1= t >0，，n=1，2，……
(1)若t =，求是等比数列，并求出{an}的通项公式；
(2)若an+1>an对一切n∈N*都成立，求t的取值范围.

21. (本小题满分14分)已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，又椭圆上任一点到两焦点的距离和为，过点M（0，）与x轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)在y轴上是否存在定点N，使以PQ为直径的圆恒过这个点？若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由.

22. (本小题满分14分)已知函数f (x)=ex，g(x)=lnx，h(x)=kx+b.
(1)当b=0时，若对x∈（0，+∞）均有f (x)≥h(x)≥g(x)成立，求实数k的取值范围；
(2)设h(x)的图象为函数f (x)和g(x)图象的公共切线，切点分别为(x1, f (x1))和(x2, g(x2))，其中x1>0.
①求证：x1>1>x2；
②若当x≥x1时，关于x的不等式ax2－x+xe+1≤0恒成立，求实数a的取值范围.
新洲一中 红安一中 麻城一中2013年高三上学期期末联考
文科数学答案
命题学校：麻城一中 命题教师：肖玉训
考试时间：2013年1月21日 15：00—17：00 试卷满分：150分
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一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
C
A
B
D
D
A
D
二、填空题
11. 45；45 12. 16 13. 14. [1，3] 15. 16. 17. 129；bn=2n－1+n+1
三、解答题
18. 解：(1)
又…… (2分)
∴，sinA=…………………………………………(4分)
又A为锐角，∴A=……………………………………………………………(6分)
(2) a2=b2+c2－2bcosA
∴b2+c2－bc=9≥bc ∴S=bcsinA=bc≤………………………(10分)
故△ABC面积的最大值为…………………………………………………(12分)
19. (1) 证明 在△ABD 中，∵AB=2，AD=4，∠DAB=60°
∴BD=.
∴AB2+BD2=AD2，∴AB⊥BD.
又∵平面EBD⊥平面ABD，
平面EBD∩平面ABD=BD，AB平面ABD，
∴AB⊥平面EBD. 又∵DE平面EBC，∴AB⊥DE. …………………………(5分)
(2)解：由(1)知AB⊥BD.
∵CD∥AB ∴CD⊥BD，从而DE⊥BD
在Rt△DBE中, ∵DB=2，DE=DC=AB=2，
∴S△DBE=.……………………………………………………(7分)
又∵AB⊥平面EBD，BE平面EBD，∴AB⊥BE.
∵BE=BC=AD=4，S△ABE=AB·BE=4………………………………………(9分)
∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD，
而AD平面ABD，∴ED⊥AD，∴S△ADE=AD·DE=4. ………………(11分)
综上，三棱锥E—ABD的侧面积S=8+2……………………………… (12分)
20. 解：(1)由题意an>0，，
，…………………………………………………(4分)
所以数列{}是首项为，公比为的等比数列……………………………(5分)
，………………………………………(7分)
(2)由(1)知，……………………………(9分)
由a1>0，an+1=知an>0，故an+1>an得………………………(10分)
即(－1)() +1<(－1) ()+1得－1>0 又t>0
则0<t<1……………………………………………………………………………(13分)
21. 解：(1)因为离心率为，又2a=，∴a=，c=1
故b=1，故椭圆的方程为………………………………………………(4分)
(2)设l的方程为y=kx－
由得(2k2+1)x2－kx－=0
设P(x1, y1)，Q(x2, y2)
则x1+x2= x1·x2=……………………………………(8分)
假设在y轴上存在定点N（0，m）满足题设，则

·= x1x2+(y1－m)(y2－m)= x1x2+ y1y2－m(y1+y2) +m2
= x1x2+(kx1－)( kx2－)－m(kx1－+ kx2－) +m2
=(k2+1) x1x2－k(+m)(x1+x2)+m2+m+
=－k(+m)+m2+m+
=…………………………………(12分)
由假设得对于任意的k∈R，·=0恒成立
即解得m=1
因此，在y轴上存在定点N，使得以PQ为直径的圆恒过这个点，点N的坐标为(0,1)
…………………………………………………………………………………………(14分)
22. 解：(1)依题意对x∈（0，+∞）均有ex≥kx≥lnx成立
即对任意x∈（0，+∞）均有≥k≥成立…………………………………(1分)
∴()min≥k≥
因为()= 故在（0，1）上减，（1，+∞）增
∴（）min=e
又 故在（0，e）上减，（e，+∞）增
∴ 即k的取值范围是[，e]
(2)由题知：h(x)即为y－e= e(x－x1)即y=e·x+ e－x1 e
也为y=lnx2=即y=+lnx2－1
∴………………………………………………(6分)
又x1=0 ∴e>1 即>1x1>1
即x1>1>x2………………………………………………………………(8分)
(3)令F(x)=ax2－x+xe+1(x≥x1)
∴F′(x)= －1－xe+e=－1+e(1－x)( x≥x1)
又x≥x1>1 F′(x)= －1－xe+e=－1+e(1－x)<0
即F(x)=ax2－x+xe+1(x≥x1)单减
所以只要F(x)≤F(x1)= ax2－x1+1xe+1≤0
即a+ x1－x1e+ e≤0………………………………………………(12分)
由
∴
即
故只要≤0得：
a≤1
综上，实数a的取值范围是（－∞，1] ……………………………(14分)