考点跟踪训练50中考模拟卷.doc

中考一模试题
[时间：120分钟　分值：120分]

一、仔细选一选(本题有10个小题，每小题3分，共30分)

1．同学们，你认识如图所示的卡通人物吗？没错，它就是美国著名3D卡通电影《里约大冒险》(Rio)中的主人公，两只漂亮的鹦鹉——布鲁和珠儿，凭借着影片所寄寓的独特情感，该片在2011年3月、4月和5月蝉联全球票房冠军，累计票房达2.86亿美元．“2.86亿”用科学计数法应书写为(　　)

A．2.86×106 B．2.86×107
C．2.86×108 D．2.86×109
答案　C
解析　2.86亿＝2.86×108.
2.下列计算错误的是(　　)
A．(－2x)3＝－2x3 B．－a2·a＝－a3
C．(－x)9 ÷(－x)3＝x6 D．(－2a3)2＝4a6
答案　A
解析　(－2x)3＝(－2)3·x3＝－8x3.
3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”， 应先假设这个三角形中(　　)
A．有一个内角小于60°
B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°
D．每一个内角都大于60°
答案　B
解析　“至少有一个内角不小于60°”的反面是“每一个内角都小于60°”．

4．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝32°，那么∠2的度数是(　　)

A．32° B．58°
C．68° D．60°
答案　B
解析　易证明∠1＋∠2＝90°，所以∠2＝90°－∠1＝90°－32°＝58°.
5．在直角坐标系中，点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值为(　　)
A．－2 B．2 C. D.

答案　B
解析　如图，当OP垂直直线x＋y－4＝0时，OP最小，易求得OA＝OB＝4，AB＝4 ，所以OP＝AB＝2 .
6．小明等五名同学四月份参加某次数学测验的成绩如下：100、100、x、x、80.已知这组数据的中位数和平均数相等，那么整数x的值为(　　)
A．60 B．110
C．60或110 D．60或100
答案　C
解析　当x<80时，(100＋100＋x＋x＋80)＝80,2x＋280＝400,2x＝120，x＝60；当80≤x<100时，(100＋100＋x＋x＋80)＝x,2x＋280＝5x,3x＝280，x＝，不合题意舍去；当x≥100时，(100＋100＋x＋x＋80)＝100,2x＋280＝500，x＝110；综上所述，x＝60或110.
7．设a<4，函数y＝(x－a)2(x－4)的图象可能是(　　)

答案　C
解析　不论x取何值．(x－a)2≥0，而当x<4时x－4<0，y<0，故选C.
8．如图，矩形ABCG与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，∠APE 的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是(　　)

A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　画AE为直径的圆，交直线BD于两点，则使∠APE为直角的点P有2个．

9．如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心、AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为(　　)

A. B. C. D.
答案　D
解析　设半圆E的半径为r，正方形ABCD的边长为4，则BE＝4－r，AE＝4＋r，在Rt△ABE中，(4＋r)2＝(4－r)2＋42，解得r＝1，所以sin∠EAB＝.
10．如图，A1、A2、A3是抛物线y＝ax2(a>0)上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C.A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数n－1、n、n＋1，则线段CA2的长为(　　)
A. a B．2a C．n D．n－1

答案　A
解析　可求得直线A1A3的解析式y2＝2anx＋(a－an2)，当x＝n时，y＝an2，则y2＝an2＋a，所以A2(n，an2)，C(n，an2＋a)，线段CA2的长为(an2＋a)－an2＝a.
二、认真填一填(本题有6个小题，每小题4分，共24分)
11．用一个半径为8，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为________．
答案　2
解析　由×360°＝90°，得r＝2.又有22＋h2＝82，所以h＝2 .
12．考虑下面9个命题：
(1)任意三点确定一个圆；(2)平分弦的直径垂直于弦； (3)90°的圆周角所对的弦是直径；(4)同弧或等弧所对的圆周角相等；(5)垂直于弦的直径平分这条弦；(6)平分弦的直径平分这条弦所对的弧；(7)垂直于切线的直线必过圆心；(8)直径是圆中最大的弦；(9)相等的圆周角所对的弧相等．
其中正确命题的序号是__________．(把你认为正确命题的序号都填上)
答案　(3)(4)(5)(8)
解析　考察圆的基本性质，重点是垂径定理，圆周角定理．
13. 已知y＝(x－1)2＋3
y＝(x＋4)2＋8；y＝
y＝＋5；y＝x＋1
y＝(x＋5)＋1＋5，即y＝x＋11.
那么当点P(x，y)是以坐标原点O为圆心，5为半径的圆周上的点，可得如下关系式x2＋y2＝25，现将圆心平移至(5,5)，其它不变，则可得关系式为__________．
答案　(x－5)2＋(y－5)2＝25
解析　根据平移的性质可知，已知的圆平移后，只是位置改变了，即圆心坐标改变，圆的半径没有发生变化，根据圆心平移到(5,5)，如图构造以半径PB为斜边的直角三角形，利用勾股定理列式即可得平移后圆的关系式．由图中可以看出，此时PA＝y－5，AB＝x－5，∴(x－5)2＋(y－5)2＝25.故答案为：(x－5)2＋(y－5)2＝25.

14．如图1是工人将货物搬运上货车常用的方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运．根据经验，木板与地面的夹角为20°(即图2中∠ACB＝20°)时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离AB＝1.5m，木板超出车厢部分AD＝0.5m，则木板CD的长度为________．(参考数据：sin 20°≈0.3420，cos 20°≈0.9397，精确到0.1m)

答案　4.9 m
解析　在Rt△ABC中，AB＝1.5，∠ACB＝20°，sin20°＝，AC＝≈4.4，所以CD＝AC＋AD＝4.4＋0.5＝4.9.
15．在关于x1，x2，x3的方程组中，已知a1>a2>a3，那么将x1，x2，x3从大到小排列应该是____________．
答案　 x2>x1>x3
解析　把方程组中的三个方程相加得，2(x1＋x2＋x3)＝a1＋a2＋a3，所以x1＋x＋x3＝(a1＋a2＋a3)，分别减去这三个方程，得
∵a1>a2>a3，
∴x2>x1>x3.
16．如图，图1是一块边长为1，面积记为S1的正三角形纸板，沿图1的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图2，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板(即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的)后，得图3,4，…，记第n(n≥3) 块纸板的面积为Sn，则Sn－1－Sn＝_____________.

答案　
解析　∵依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的，
∴三角形的边长分别为，，，…
即相邻三角形相似比为1∶2，
∴相邻三角形面积比为1∶4.
∴剪去一块的正三角形纸板面积为，，，…
∴第n个三角形的面积为，故答案为.
三、全面答一答(本题有8个小题，共66分)
17．(本小题满分6分)先化简，再求值：已知x＝2＋，y＝2－，计算代数式(－)·(－)的值．
解　(－)·(－)
＝·
＝4xy·＝－.
当x＝2＋，y＝2－时，原式＝－＝－4.
18．(本小题满分6分)在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是(如图所示)：画线段AB，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC的延长线于D，连接DB.则△ABD就是直角三角形．

(1)请你说明其中的道理；
(2)请利用上述方法作一个直角三角形，使其一个锐角为30°(不写作法，保留作图痕迹)．
解　(1)连接BC，由作图可知：AC＝BC＝DC，易证：∠ABD＝90°.
(2)作图略．

19．(本小题满分6分)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x>0, k>0 )的图象经过点A(1, 2)，B(m ，n)(m＞1)，过点B作y轴的垂线，垂足为C.
(1)求该反比例函数解析式；
(2)当△ABC面积为2时，求点B的坐标．
解　(1)反比例函数解析式为：y＝.
(2)∵S△ABC＝2＝m(2－n)＝m(2－)，∴m＝3，
∴B的坐标为(3，)．
20．(本小题满分8分)如图，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．若AB＝4，BC＝4，CC1＝5，
(1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
(2)求蚂蚁爬过的最短路径的长．

解　(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D和AA1C1C.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.

(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长是l1＝＝.
蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，
爬过的路径的长是l2＝＝.
∵l1>l2，∴最短路径的长是l2＝.
21．(本小题满分8分)电脑中的信号都是以二进制数的形式给出的．二进制数是由0和1组成的，电子元件的“开”、“关”分别表示“1”和“0”．一组电子元件的“开” “关”状态就表示相应的二进制数．例如：“开”“开”“开”“关”表示“1110” .如图，电脑芯片的某段电路上分布着一组电子元件A、B、C、D，且这四个元件的状态始终呈现为两开两关．
(1)请用二进制数表示这组元件所有开关状态；
(2)求A、B两个元件“开” “关”状态不同的概率．

解　(1)所有可能出现的结果如下：
A
B
C
D
结果
1
1
0
0
1100
1
0
1
0
1010
1
0
0
1
1001
0
0
1
1
0011
0
1
0
1
0101
0
1
1
0
0110
总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同．
(2)所有的结果中，满足A、B两个元件“开”“关”状态不同的结果有4种，所以A、B两个元件“开”“关”状态不同的概率是.
22．(本小题满分10分)下图是根据某世博会门票销售点在2010年3月1日至3月31日期间向个人销售各种门票情况而绘制的两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息解答下列问题：
(1)在这个月里，该销售点共售出的世博会门票为____张；在扇形统计图中，表示“平日普通票”的扇形圆心角为____度；
(2)补全下面的条形统计图，并标明张数；

(3)2010年我校参加暑期上海夏令营的师生计划到时参观世博会．带队老师上网了解到：“现在起至2010年4月30日预订的话，票价如下表所示：

平日票价
成人普通票(元/张)
150
学生优惠票(元/张)
90
但如果2010年5月1日开园后再买，则各种票都涨价10元．这时，预支购票款的后勤老师说：“现在买票，我们的购票款恰好还可以多买2张学生票；如果到去时才买就会有1位老师因票款不够而没票，因为最后买那张票只剩不足20元的钱．” 根据以上信息，你能求出我校暑期上海夏令营一共有多少师生去参观世博会吗？
解　(1)5000；108.
(2)作图略．
(3)设：老师x人，学生y人．
依题意：
150x＋90y＋2×90－160(x－1)－100y<20，
化简得：x＋y>32.①
100<150x＋90y＋2×90－160(x－1)－100(y－1)<160，
化简得：28<x＋y<34.②
联立①②，得 32<x＋y<34 ，
因为人数是整数，综上所述：x＋y＝33(人)．
答：一共有师生33人．
23．(本小题满分10分)

(1)动手操作：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为__________；

(2)观察发现：小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片(如图②)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图③)．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由；

(3)实践运用：将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP＝MN＝PQ(如图④)，求∠MNF的大小．

解　(1)125°.
(2)同意．
如图③，设AD与EF交于点G.
由折叠知，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
由折叠知，∠AGE＝∠ DGE＝90°，
∴∠AGE＝∠AGF＝90°，
∴∠AEF＝∠AFE.
∴AE＝AF, 即△AEF为等腰三角形．
(3)过N作NH⊥AD于H.
设ME＝a，EF＝b，MF＝c，则a2＋b2＝c2. ①
由折叠知，AM＝c，MN＝2a，HM＝c－a，HN＝AB＝EF＝b.
在Rt△HMN中，HM2＋HN2＝MN2，
∴(c－a)2＋b2＝(2a)2.②
联立①②得，c＝2a.
∴△MPF为等边三角形．
∴∠MFE＝30°，∴∠MFN＝60°.
又∵MN＝MF＝2a，
∴△MNF为等边三角形．
∴∠MNF＝60°.
24．(本小题满分12分)已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－x＋3(a≠0)交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x＝－2 .
(1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)若点P(0，t)是y轴上的一个动点，请进行如下探究：
探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W＝t·S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；
探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

解　(1)∵抛物线y＝ax2－x＋3(a≠0)的对称轴为直线x＝－2，
∴－＝－2，∴a＝－，
∴y＝－x2－x＋3.
∴D(－2,4)．
(2)探究一：当0<t<4时，W有最大值．理由如下：
∵抛物线y＝－x2－x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，
∴A(－6,0)，B(2,0)，C(0,3)，
∴OA＝6，OC＝3.

当0<t<4时，作DM⊥y轴于M，
则DM＝2，OM＝4.
∵P(0，t)，
∴OP＝t，MP＝OM－OP
＝4－t.
∵S△PAD＝S梯形OADM－S△AOP
－S△DMP
＝(DM＋OA)·OM－OA·OP－DM·MP
＝(2＋6)×4－×6×t－×2×(4－t)
＝12－2t.
∴W＝t(12－2t)＝－2(t－3)2＋18.
∴当t＝3时，W有最大值，W最大值＝18.

探究二：存在．分三种情况：

①当∠P1DA＝90°时，作DE⊥x轴于E，则OE＝2，DE＝4，∠DEA＝90°，
∴AE＝OA－OE＝6－2＝4＝DE.
∴∠DAE＝∠ADE＝45°，
AD＝DE＝4 ，
∴∠P1DE＝∠P1DA－
∠ADE＝90°－45°＝45°.
∵DM⊥y轴，OA⊥y轴，
∴DM∥OA，∴∠MDE＝∠DEA＝90°，
∴∠MDP1＝∠MDE－∠P1DE＝90°－45°＝45°.
∴P1M＝DM＝2，P1D＝DM＝2 .
∴＝＝.
∵∠AOC＝∠P1DA＝90°，
∴Rt△ADP1∽Rt△AOC，
∴OP1＝OM－P1M＝4－2＝2，∴P1(0,2)．
∴当∠P1DA＝90°时，存在点P1，使Rt△ADP1∽Rt△AOC，此时P1点的坐标为(0,2)．
②当∠P2AD＝90°时，则∠P2AO＝45°，
∴P2A＝＝6 ，∴＝＝.
∵＝，∴≠.
∴△P2AD与△AOC不相似，此时点P2不存在．
③当∠AP3D＝90°时，以AD为直径作⊙O1，则⊙O1的半径r＝＝2 ，圆心O1到y轴的距离d＝4.
∵d>r，∴⊙O1与y轴相离．
∴不存在点P3，使∠AP3D＝90°.
∴综上所述，只存在一点P(0,2)使Rt△ADP与Rt△AOC相似．