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一元一次不等式问题中的两类小综合题
北京 杜开龙
解一元一次不等式的全部过程，与解一元一次方程相比，只是在最后一步上有所变化。所以，在熟练掌握了解一元一次方程的基础上，解好一元一次不等式的关键是集中精力细心完成最后一步——用未知数的系数去除不等式的两边。初学不等式，为了减少不必要的失误，在最后一步上，分三步来思考比较合适。
1、由（未知数的）系数的正负，确定不等号的方向是否改变；
2、由不等号两边的符号确定商的符号；
3、弄清楚谁除谁。
掌握上述规律就可以解决很多不等式的常规习题，然而对于不等式部分中出现的一些小综合的题目，部分同学还是感到困难，针对这个问题做一辅导.
一、 一元一次不等式与方程的综合
我们先来看一个简单问题：
若不等式（2k+1）x<2k+1的解集是x＞1，则k的范围是 。
分析：这是一个含参数的关于x的不等式的解集已知的问题。解决这一问题的关键是观察不等式中不等号的方向与其解集中不等号的方向是否一致，若不一致，则说明未知数的系数为负；若一致，则说明未知数的系数为正。从而把问题转化为关于参数的不等式，解这个不等式式得到参数的解。本问题中中因为不等式的不等号方向和其解集的不等号方向不一致，从而断定2k+1<0，所以k<。
例1、如果关于x的不等式(2a－b)x＋a－5b>0的解集为x<，求关于x的不等式ax>b的解集。
分析：由不等式(2a－b)x＋a－5b>0的解集为x<，观察到不等号的方向已作了改变，故可知(2a－b)<0，且，解此方程可求出a，b的关系。
解：由不等式(2a－b)x＋a－5b>0的解集为x<，可知：
2a－b<0，且，得b=。
结合2a－b<0，b=，可知b<0，a<0。
则ax>b的解集为x<。
评注：这道题的内涵极为丰富，它牵涉到不等式的基本性质，不等式的解的意义，不等式的求解，它将式的的恒等变形、不等式、方程融合在一起，以不等式为背景，形成了一道精巧的小综合题。
例2、若3x－5<0，且y=7－6x，那么y的范围是什么？
分析：本题明显是不等式与方程的结合题。很多同学在解本题时感到有一定的困难，现提供两种解法供大家参考。
解法1：由3x－5<0，得3x<5.
两边同时乘以2，得6x<10.
两边再同时乘以－1，得－6x>－10.
两边再同时加上7，得7－6x>－3.
因为y=7－6x，所以y>－3.
解法2：由y=7－6x，可得x=。将它代入不等式3x－5<0，得一个关于y的不等式，解这个不等式易得y>－3。
评注：解法1多次反复运用不等式的性质，最终得到问题的解，其变形技巧对于初学者来说有些眼花缭乱。解法2利用等式中x与y的相互表示，将求y的范围问题迅速转化为求解一个关于y的不等式的问题，从而得到问题的解。两个层次对大家来说都不陌生，比较容易理解，也具有较强的可操作性。事实上，解法2是解决不等式与方程（或今后学习的函数）综合问题的重要方法。仔细领会这一方法，将它程序化、步骤化。
二、一元一次不等式的整数解问题
求出不等式的解集后，就可写出不等式的整数解或正整数的解。这一类问题较为简单，教材上有详细的例题解析，不再赘述。
若一个含参数的不等式已知其正整数解，求参数的取值范围，应先根据正整数解确定不等式的解集，再确定参数的范围。
例3、已知不等式4x－a≤0，只有四个正整数解1，2，3，4，那么正数a的取值范围是什么？
分析：可先由不等式解集探求字母的取值范围，可采用类比的方法。
解：由4x－a≤0得x≤。
因为x≤4时的正整数解为1，2，3，4；
x≤4.1时的正整数解为1，2，3，4；
…
x≤5时的正整数解为1，2，3，4，5。
所以4≤<5，则16≤a<20。
其实，本题利用数形结合的方法来解更直观易懂。根据题意画出直观图示如下：

因为不等式只有四个正整数解1，2，3，4，设若在4的左侧，则不等式的正整数解只能是1，2，3，不包含4；若在5的右侧或与5重合，则不等式的正整数解应当是1，2，3，4，5，与题设不符。所以可在4和5之间移动，能与4重合，但不能与5重合。因此有4≤<5，故16≤a<20。
由上例可以看到数形结合在解题中的运用之妙。你现在一定能轻松的解下面这两道题了。
1、如果不等式3x－m≤0的正整数解是1，2，3，那么正数m的取值范围是什么？
2、已知关于x的不等式3x－m<5+2(2m－x)的正整数解是1，2，3，求m的取值范围。
答案：1、9≤m<12；2、2<m≤3。提示：注意本题与例3的区别。