黄岗中学高考数学二轮复习考点解析7：数列的综合考查20081020_3924868_0.doc

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湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析7：数列的综合考查
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。
近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。（文科考查以基础为主，有可能是压轴题）
一、知识整合
1．在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；
2．在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，
进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．
3．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．
二、方法技巧
1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。
(2)通项公式法：
①若  = +（n-1）d= +（n-k）d ，则为等差数列；
②若  ，则为等比数列。
(3)中项公式法：验证中项公式成立。
2. 在等差数列中,有关的最值问题——常用邻项变号法求解：  
(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值.
(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
三、注意事项
1．证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明 或而得。
2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
3．注意与之间关系的转化。如：= ， =．
4．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．
5．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．
四．典型考例
【问题1】等差、等比数列的项与和特征问题P49 例1 3。P50 例2 P56 例1 P59 T6．
【注1】文中所列例题如末给题目原文均为广州市二轮复习资料上例题
例（四川卷）数列的前项和记为（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求
本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。
解：（Ⅰ）由可得，两式相减得
又 ∴ 故是首项为，公比为得等比数列 ∴
（Ⅱ）设的公比为 由得，可得，可得
故可设 又
由题意可得 解得
∵等差数列的各项为正，∴ ∴ ∴
1.设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.
(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式
2．(上海卷)设数列的前项和为，且对任意正整数，。（1）求数列的通项公式？（2）设数列的前项和为,对数列，从第几项起？
.解(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048.
当n≥2时, an= Sn－Sn－1=(4096－an)－(4096－an－1)= an－1－an ∴= an=2048()n－1.
(2) ∵log2an=log2[2048()n－1]=12－n, ∴Tn=(－n2+23n).
由Tn<－509,解得n>,而n是正整数,于是,n≥46. ∴从第46项起Tn<－509.
3. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列的首项，前n项和为，且。（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求的前n项和。
解：（Ⅰ）由 得
即
可得
因为，所以 解得，因而
（Ⅱ）因为是首项、公比的等比数列，故

则数列的前n项和

前两式相减，得
即
【问题2】等差、等比数列的判定问题．P53 T7 例P54 T9
[例]P54 T9(上海卷)已知有穷数列共有2项（整数≥2），首项＝2．设该数列的前项和为，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常数＞1．
（1）求证：数列是等比数列；（2）若＝2，数列满足＝（＝1，2，┅，2），求数列的通项公式；
（3）若（2）中的数列满足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|≤4，求的值．
(1) [证明] 当n=1时,a2=2a,则=a；
2≤n≤2k－1时, an+1=(a－1) Sn+2, an=(a－1) Sn－1+2,
an+1－an=(a－1) an, ∴=a, ∴数列{an}是等比数列.
(2) 解：由(1) 得an=2a, ∴a1a2…an=2a=2a=2,
bn=(n=1,2,…,2k).
（3）设bn≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时, bn<；
当n≥k+1时, bn>.
原式=(－b1)+(－b2)+…+(－bk)+(bk+1－)+…+(b2k－)
=(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk)
==.
当≤4,得k2－8k+4≤0, 4－2≤k≤4+2,又k≥2,
∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.
4．[例]，已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。
分析：由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径．
【注2】本题立意与2007年高考题文科20题结构相似.
解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)
a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　　 ①
已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　 ②
由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2．

当n≥2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式．
综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2．
说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。
2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
【问题3】函数与数列的综合题 P51 例3
数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.
P51 例3（2006湖北卷）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）、求数列的通项公式；（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；
点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。
解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，
故Tn＝＝＝（1－）.
因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
5．设，定义，其中n∈N*.
（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）若，
解：（1）＝2，，，
∴
∴，∴数列｛an｝上首项为，公比为的等比数列，
（2）

两式相减得：
6．（湖北卷）设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。
本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。
解：（I）依题意得，即。
当n≥2时，a;
当n=1时，×-2×1-1-6×1-5
所以。
（II）由（I）得，
故=。
因此，使得﹤成立的m必须满足≤，即m≥10,故满足要求的最小整数m为10。
【问题4】数列与解析几何
数列与解析几何综合题，是今后高考命题的重点内容之一，求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质，并结合图形求解.
例3．在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列.
⑴求点的坐标；子⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：.
解：（1）

（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：
把代入上式，得，的方程为：。
，

=
点评：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大。（1）、（2）两问运用几何知识算出.
7．已知抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点．
（Ⅰ）令，求证：数列是等比数列．并求数列的前项和为
解：（1）因为、在抛物线上，故①②，又因为直线的斜率为，即，①②代入可得， 故是以
为公比的等比数列；，
【问题5】数列与算法
8. 数列的前项和为=n2+2n-1,试用程序框图
表示数列通项的过程,并写出数列的前5项和通项公式.
9.根据流程图,(1)求;(2)若,求n.
【问题6】数列创新题
10.（安徽卷）数列的前项和为，已知
（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。
解：由得：，即，所以，对成立。
由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。
（Ⅱ）由，得。
而，
，

11.（福建卷）已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：
（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1, bn+1=，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；
（I）解法一：

故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}
12. (全国卷III) 在等差数列中，公差的等比中项.
已知数列成等比数列，求数列的通项
解：由题意得：……………1分
即…………3分
又…………4分
又成等比数列,
∴该数列的公比为，………6分
所以………8分
又……………………………………10分
所以数列的通项为……………………………12分
课后训练:
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如果-1，a, b,c,-9成等比数列，那么
A．b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9
2．在等差数列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于
A.40 B.42 C.43 D.45
3．（06广东卷）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为
A.5 B.4 C. 3 D. 2
4．若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则
A．4 B．2 C．－2 D．－4
5．（06江西卷）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（ ）
A．100 B. 101 C.200 D.201
6．(文科做)在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于
A. B. C. D.
7．已知数列满足，则= （ ）
A．0　　　B．　　　C．　　　D．
8．（06全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝
A. B. C. D.
9．已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于( )
A.18 B.27 C.36 D.45
10．（06天津卷）已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于（　　）
A．55　　　　 B．70　　　　　C．85　　　　　D．100
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．设为等差数列的前n项和，＝14，S10－＝30，则S9＝　　　.
12．在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=_________.
13. 已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0<logm(ab)<1,则m的取值范围是________ _
14. 等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________
15．设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 .
三、解答题（共4小题，每小题4分，共24分）
16　已知正项数列，其前项和满足且成等比数列，求数列的通项
17.（文科做）（06福建）已知数列满足
（I）证明：数列是等比数列； （II）求数列的通项公式；
（II）若数列满足证明是等差数
18．（山东卷）已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….
(Ⅰ)令 (Ⅱ)求数列
(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。

答案与点拨：
1 B 解：由等比数列的性质可得ac＝（－1）×（－9）＝9，b×b＝9且b与奇数项的符号相同，故b＝－3，选B
2 B解：在等差数列中，已知∴ d=3，a5=14，=3a5=42，选B.
3 D解：，故选C.
4 D解：由互不相等的实数成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又成等比数列可得d＝6，所以a＝－4，选D
5 A解：依题意，a1＋a200＝1，故选A
6 （文）C 解：因数列为等比，则，因数列也是等比数列，
则
即，所以，故选择答案C。
7 .A　提示：由a1=0,得a2=-
由此可知：数列{an}是周期变化的,且三个一循环，所以可得:a20=a2=－故选A
8 A 解:由等差数列的求和公式可得且
所以,故选A
点评：本题主要考察等比数列的求和公式,难度一般
9 C 解：在等差数列{an}中，a2+a8=8，∴ ，则该数列前9项和S9==36，选C
10 C 解：数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于=，，∴
=，选C.
11.（文）解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意得
，联立解得a1=2,d=1，所以S9＝
12. 解：在数列中，若，∴ ，即{}是以为首项，2为公比的等比数列，，所以该数列的通项.
13 (－∞,8)　　提示 解出a、b,解对数不等式即可 答案 (－∞,8)
14 a11=29　　提示 利用S奇/S偶=得解 答案 第11项a11=29
15．－2　　提示：由题意可知q≠1,∴可得2(1-qn)=(1-qn+1)+(1-qn+2),即q2+q-2=0,解得q=-2或q=1(不合题意,舍去),∴q=－2.

16 解：13 解 ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2).
当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3.
17.（I）证明：
是以为首项，2为公比的等比数列。
（II）解：由（I）得

（III）证明：
　　　　　　　　①
　　②
②－①，得 即　　　　　③
　　　　　④
④－③，得 即
是等差数列。
18．（山东卷）已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….
(Ⅰ)令(Ⅱ)求数列
(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。
解：（I）由已知得

又

是以为首项，以为公比的等比数列.
（II）由（I）知，

将以上各式相加得：

（III）解法一：
存在，使数列是等差数列.

数列是等差数列的充要条件是、是常数
即
又
当且仅当，即时，数列为等差数列.
解法二：
存在，使数列是等差数列.
由（I）、（II）知，

又

当且仅当时，数列是等差数列.

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