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同步讲台 第9课 函数的应用

● 考点搜索
1.函数是高中数学的主线，它除了本身有丰富多彩的内容之外，还具有多种应用的功能，树立函数思想，掌握函数功能，是函数综合应用的精华.
2.函数应用题的解答程序
①解读实际问题→②建立数学模型→③解答数学问题→④检验实际结论.
其中，解读实际问题指的是：通过阅读材料(如：语言文字，表格，图形等)，了解实际问题的背景，弄清哪些是已知条件，哪些是未知的，尤其是那些“隐含”的未知量.按照最少需要量设未知数，列出已知量与未知量之间的关系式(如：等式，解析式，不等式等)从而建立数学模型，然后确定具体的函数关系，从而将实际问题转化为数学问题.
3.函数与众多内容有着千丝万缕的联系，常见的有：①函数与方程，方程的根与图像的交点可相互转化；②函数与不等式，将不等式的大小关系转化为函数图像的位置关系，③函数与数列，数列是函数的一个特例，利用函数性质研究数列性质；④函数与几何等等.
作为函数综合应用的一个方面，将某些问题转化为函数问题，然后综合利用函数的诸种性质求解.

● 实例点津
【例1】 如图所示，ABCD是边长为a的正方形，今在AB、BC，CD、DA上分别取A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=x，连A1B1C1D1得正方形A1B1C1D1，设其面积为S，求S关于x的函数式，并求A1在何处时S最小，最小为多少?
【点津】 由AA1=x，易知其内接正方形边长，因面积函数为二次函数，故易求其最值.
【解答】 ∵AA1=x，∴A1B=a-x，A1B=A1B2+BB=(a-x)2+x2=2x2-2a+a2，(0≤x≤a)
∴S(x)=2x2-2ax+a2=2(x-)2+，∴当x=，即A1B1C1D1位于四边中点时，S有最小值.
【归纳】 平面几何中的应用题，利用几何图形性质，列出方程(或方程组)，然后确定函数解析式及其定义域.

【例2】 设某函数f(x)定义域为［a，b］，其中a>0，b=a+3-2004，若某一常数m满足：a<m<b，试用f(a)，f(b)的表达式，近似地表示f(m).
【点津】 因定义域的“长度”很小，故这一段的函数图像可近似地看作是一条线段，利用三点共线的条件，可获得f(m)值.
【解答】 依题设，三个点：A(a，f(a))，B(b，(f(b))，P(m，f(m))都在函数f(x)的图像上，因|AB|很小，故可近似地看作P在线段AB上，∵kAP=kAB，∴由斜率公式得f(m)= f(a)+(m-a)·即为所求.
【归纳】 在连续的函数图像上，取极小的一段，则这一段可近似地看作是一条线段，这种“化曲为直”的思想，是极限的数学思想《微积分》就是建立在这种数学思想基础之上的一门学科.

【例3】 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx，其中a，b，c∈R,且a>b>c，a+b+c=0.(1)求证：两函数的图像交于不同两点A、B；
(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1长度的取值范围.
【点津】 (1)将该问题转化为“二次方程有两个不同实根”的问题.
(2)确定某一对象为长度函数的自变量，把“长度的取值范围”，转化为“函数的值域”.
【解答】 (1)从方程组中消去y并依x聚项整理得：ax2+2bx+c=0，
∵a+b+c=0且a>b>c，∴a>0且c<0，故由Δ=4b2-4ac>0知上述方程有两个不同的实根，故知两函数的图像交于不同两点A，B.
(2)设方程ax2+2bx+c=0的两根为：x1与x2，则x1+x2= -，x1x2=
|A1B1|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-)2-4()=4［ (+)2+］，∵a>b>c，a+b+c=0，a>0，c<0，∴a>-a-c>c1>-1->，∴∈(-2，-)，∵f()=4(+)2+3的对称轴为= -，故当∈(-2，-)时，f()是减函数，∴|A1B1|2∈(3，12) |A1B1|∈(，2).
【归纳】 将某些问题转化为函数的定义域、值域、单调性问题，是“函数思想”的具体体现.

【例4】 设f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间（0，+∞）上的最大值是5，求F(x)在(-∞，0)上的最小值.
【点津】 注意到F(x)-2是奇函数，其最大值是3.
【解答】 令(x)=F(x)-2=af(x)+bg(x),则 (x)为奇函数，且在(0，+∞)上有最大值3，
∴F(x)在(-∞，0)上有最小值-1.
【归纳】 构造新函数，利用“新函数”的奇偶性求解，是解答本题的技巧所在.

● 对应训练
一、选择题
1.某旅社有客床100张，各床每天收费10元时可全部客满，若每床每天收费每提高2元，便减少10张客床租出，这样，为了减少投入，多获利，每床每天收费应提高 ( )
A.2元 B.4元 C.6元 D.8元
2.某商店卖p、q两种价格不同商品，商品p连续两次提价20%，同时商品q连续两次降价20%，如果都以每件23.04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则商店盈利情况是( )(与不升不降比较)
A.多赚5.92元 B.少赚5.92元
C.多赚28.92元 D.盈利相同
3.某地2000年底人口为500万，人均住房面积为6m2，如果该地人口平均每年增长率为1%，为使2010年底该地人均住房面积增加到7m2，平均每年新增住房面积至少为( )m2(1.0110≈1.1045)
A.80 B.85 C.87 D.90
4.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y，则x，y间的关系式为 ( )
A.y=0.9576x B.y=0.9576
C.y=1-(0.9576)x D.y=0.9576100x
5.函数f(x)=log3|2x+a|的对称轴方程为x=2，则常数a为 ( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
6.若方程：x2-ax+2a-1=0在(0，3)内只有一个根，则a的取值范围是 ( )
A.(，8) B.(-∞，)∪(8，+∞)
C.(-∞，) D.(8，+∞)
7.若函数y=-2x2+x-1在［-2，a］上是增函数，则a的取值范围是 ( )
A.(-2，)］ B.(-2，) C.［-2，］ D.不能确定
8.若函数f(x)=ax-a+6的反函数f -1(x)的图像过点(5，2)且在区间：(，+∞)上恒有f -1 (x)<0,则 ( )A.a=2 B.a= C.a=2或 D.不存在
9.函数f(x)的定义域为x∈R且x≠1，已知f(x+1)为奇函数，当x<1时，f(x)=2x2-x+1，则当x>1时，f(x)的减区间为 ( )
A.［，+∞］) B.(1，)］
C.［，+∞］) D.(1，)］
10.方程()|x|=|logx|实根个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题
11.在研究试验中发现，一种放射性元素经过100年剩留量为原来质量的a%(0<a<100)，则质量为b的这种元素经过25年的剩留量为 .
12.将每支40元的化装品按每个50元出售时，能卖出500支，若每支多卖1元，则销售量减少10支，为了获得最大利润，售价应为 元.
13.若f(x)=log2(2x-1)，则f(2x)=f -1(x)的解集为 .
14.已知f(x)= ，(m∈R)，f(5)与f(-π)的大小关系是 .
三、解答题
15.某粒子在回旋加速器中做圆周运动，已知出发t个单位时间通过的路程为s(t)=at2(a，b是常数)，如果最初转完第一圈时用了5个单位时间，接下去又用3个单位时间转完第2圈.
(1)问：该粒子再用多少单位时间可以转完第3圈?
(2)试问从第几圈开始，粒子转完一圈的时间不超过1个单位时间?

16.某城市为了改善交通状况，需进行路网改造，已知原有道路a个标段(注：1个标段是指一定长度的机动车道)，拟增建x个标段的新路和n个道路交叉口，n与x满足关系n=ax+b，其中b为常数，设新建1个标段道路的平均造价为k万元，新建1个道路叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的β倍(β≥1)，n越大，路网越通畅，记路网的堵塞率为μ，它与β的关系为μ=.(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；
(2)若要求路网的堵塞率介于5%与10%之间，而且新增道路标段为原有道路标段数的25%，求
新建的x个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比的取值范围.

17.若f(x)=2x-2-x·lga为奇函数，求实数a的值.

18.设x，y，z∈(0，1)，求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

● 对应答案
1.C 设提高x元，则y=(100-5x)·(10+x)=-5x2+50x+1000，x=4或6时，y最大.
2.B 调价前各售一件应得.
+=52元，调价后23.04+23.04=46.08元，∴少赚52-46.08=5.92元.
3.C 设每年新增x万平方米，则≥7x≥350×(1.01)10-300≈86.6平方米.
4.B 设镭每年减小m，由题意得1·95.76%=(1-m)100，解得m=1-0.9576，故y=1·（1-m）x即y=0.9576.
5.D ∵f(-+x)=f(--x)，∴对称轴x=-令-=2得a=-4.
6.B 令f(x)=x2-ax+2a-1，由f(0)·f(3)<0(2a-1)(9-3a+2a-1)<0(2a-1)(a-8)>0a>8或a<.
7.A y=-2(x-)2--2<a≤.

8.B ∵f(x)过点(2，5)，∴5=a2-a+6a=2或又f-1 (x)<0，∴a=.
9.C ∵f(x+1)为奇函数，∴f(x)关于点(1，0)成中心对称.
10.C 作图像可看出.
11.设每年减少q%a%=(1-q%)100，∴1-q%=(a%)25年后b的剩留量为
b(1-q%)25=b(a%)=b().
12.设利润为y元，每支售价x元，则每个涨(x-50)元，销售量减少10(x-50)个，可售出500-10(x-50)=1000-10x(个)y=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)2+9000，而x∈［50，100］故当x=70时，ymax=9000元.
13.f -1(x)=log2(2x+1) log2(22x-1)=log2(2x+1) x=1.
14.∵f(x)=m-，它可由y=m-向右平移1个单位所得，∴x=1是f(x)的对称轴，且f(x)在
(-∞，1)上递减，而f(5)=f(1+4)=f(1-4)=f(-3)，∵-3>-π，∴f(5)<f(-π).
15.(1)设圆的周长为c，则由得.
又设出发x个单位时间后，粒子转过第三圈，则ax+bx2=3c，即7bx+bx2=3×60b，x2+7x-180=0，
∵x>0，∴x=.因此转完第三圈所需时间为(-23).
(2)设出发t个单位时间后走完第x圈，则7bt+bt2=x·60b解之：t=(),而转完第x-1圈所用的时间t′= t=[]，∵t-t′≤1即t=()- [］≤1所以x≥15.3.
故从第16圈开始，粒子走一圈所用的时间不超过1个单位时间.
16.(1)新建道路交叉口的总造价(万元)为y=kβn=kβ(ax+b).
(2)令p====由于≤μ≤0.05≤≤0.14≤β≤9≤≤,而β>0，从而>0故P的取值范围得［，］.
17.由f(-x)=-f(x)(2x+2-x)(1-lga)=0a=10.
18.令f(x)=x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)-1,则f(x)=(1-y-z)x+(y+z-yz-1)，∵f(x)是一次函数且f(0)=-(y-1)(z-1)<0，f(1)=-yz<0，∴对于0<x<1都有f(x)<0,故原不等式成立.

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