乐中2011级数学优化探究电子文档排列组合和概率10-3.doc

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授课提示：对应课时作业（五十五）
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.（2009年北京高考）若（1+）5=a+b（a,b为有理数），则a+b=（）
A.45 B.55
C.70 D.80
解析：由二项式定理得：

答案：C
2.（2009年重庆高考）（x2+）8的展开式中x4的系数是（）
A.16 B.70
C.560 D.1 120
解析：

答案：D
3.（2009年江西高考）（1+ax+by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243,不含y的项的系数绝对值的和为32，则a,b,n的值可能为（）
Aa=2,b=-1,n=5 Ba=-2,b=-1,n=6
Ca=-1,b=2,n=6 Da=1,b=2,n=5
解析：不含x的项的系数的绝对值为（1+|b|）n=243=35,不含y的项的系数的绝对值为（1+|a|）n=32=25,
∴n=5,1+|b|=3,1+|a|=2,故选D.
答案：D
4.设（1+x)8=a0+a1x+…+a8x8,则a0,a1,…,a8中奇数的个数为（）
A2 B3
C4 D5
解析：a0=C08=1,a1=C18=8,a2=C28=28,
a3=C38=56,a4=C48=70.
∵Ck8=C8-k8（k=0,1,2,…,8），
∴只有a0和a8为奇数.
答案：A
5.如果（3x2- ）n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（）
A3 B5
C6 D10
解析：∵Tr+1=Crn(3x2)n-r（- ）r
=(-2)r3n-rCrnx2n-5r,
当2n-5r=0时，2n=5r,又∵n∈N*,r∈N.
∴n是5的倍数.
答案：B
6在（x- ）2 006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x=2时，S等于（）
A.23 008 B.-23 008
C.23 009 D.-23 009
解析：由题意设（x-）2 006=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 006x2 006.①
（-x-）2 006=a0-a1x+a2x2-a3x3+…-a2 005x2 005+a2 006x2 006.②
①-②得2（a1x+a3x3+a5x5+…+a2 005x2 005）=（x-）2 006-（x+）2 006.
把x=2代入上式得二项式展开式中含x的奇次幂的项的和.
S=-=-23 008.
答案：B
二、填空题(每小题6分,共18分)
7.（2009年全国Ⅰ）（x-y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于.
解析：T4=-C310x7y3,T8=-C710x3y7,
则x7y3与x3y7的系数之和为-2C310=-240.
答案：-240
8.（2009年全国Ⅱ）（x-y)4的展开式中x3y3的系数为.
解析：Tr+1=Cr4（x）4-r（-y）r=Cr4·（-1）r,Tr+1中含x3y3，需=3, =3,此时r=2,
∴x3y3的系数为C24（-1）2=6.
答案：6
9.（2010年上海春季高考）在（2x2+）6的二项展开式中，常数项是.
解析：Tr+1=Cr6(2x2)6-r·()r=26-rCr6x12-2r·x-r=26-rCr6x12-3r,
12-3r=0,r=4,常数项为60.
答案：60
三、解答题(共46分)
10.（15分）设（2- x）100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100，求下列各式的值.
（1）a0；
（2）a1+a2+…+a100；
（3）a1+a3+a5+…+a99.
解析：（1）由（2-x）100展开式中的常数项为C0100·2100，即a0=2100，或令x=0，则展开式可化为a0=2100；
（2）令x=1，可得
a0+a1+a2+…+a100=（2-）100，①
∴a1+a2+…+a100=（2-）100-2100；
（3）令x=-1，可得
a0-a1+a2-a3+…+a100=（2+）100，②
与x=1所得到的①联立相减可得
a1+a3+…+a99=.
11.（15分）（1）求（x2-x-2)4展开式中x3的系数.
（2）求(4+2x+x2)(2-x)7展开式中x4的系数.
（3）求(1-x)3+(1-x)4+(1-x)5+…+(1-x)10展开式中x2的系数.
解析：（1）所给的式子不是二项式，不能直接用公式展开，应设法转为二项式后再求解.
解法一(x2-x-2)4=［x2-(x+2)］4,将(x+2)看成二项式的一项，经分析易知，含x3的项只可能出现在展开式最后两项中，它们是-C34x2(x+2)3+(x+2)4,进一步分析得，x3系数为-C34C23×22+C14×2=-40.
解法二因(x2-x-2)4=(x-2)4(x+1)4,故可知x3项出现的情况有以下四种：(x-2)4展开式中的常数项与(x+1)4展开式项中x3项相乘，(x-2)4展开式x项与(x+1)4展开式项中x2项相乘，(x-2)4展开式中的x2项与(x+1)4展开式中x项相乘，(x-2)4展开式中的x3项与(x+1)4展开式中的常数项相乘，可得x3的系数为
(-2)4C34+(-2)3C14·C24+C24·(-2)2·C14+C34·(-2)=-40.
(2)解法一因(4+2x+x2)(2-x)7=(8-x3)(2-x)6,所以x4项出现的情况有以下两种：8-x3中的8与(x-2)6展开式中的x4项相乘，8-x3中的-x3与(2-x)6展开式中的x项相乘，故可得x4项的系数为8C46×-22-C16×25×(-1)=672.
解法二由原式直接分析，x4项出现的情况有以下三种：(4+2x+x2)中的4与(2-x)7展开式中的x4项相乘，(4+2x+x2)中的2x与(2-x)7展开式中的x3项相乘，(4+2x+x2)中的x2与(2-x)7展开式中的x2项相乘.
故可得x4项的系数为
4×C47×23+2×C37×24×(-1)+C27×25=672.
（3）解法一对每个二项式逐个分析展开式中的x2项的系数可知，原式展开合并同类项后x2项的系数为C23+C24+C23+…+C210,利用组合数性质2经计算得
C23+C24+C25+…+C210=…=C311-C33=164.
解法二将原式看成首项为(1-x)3,公比为1-x的等比数列前8项的和，当x≠1时：(1-x)3+(1-x)4+(1-x)5+…+(1-x)10==［(1-x)3-(1-x)11］，只需求(1-x)3-(1-x)11展开式中x3系数，易得为-1-C311(-1)3=164.
12.（16分）（1）求（+x-1）5展开式中的一次项；
（2）等比数列｛an｝中，an＞0,试化简A=C0nlg a1-C1nlg a2+C2nlg a3-…+(-1)nCnnlg an+1.
解析：（1）解法一所求展开式的通项
Ts+1=(-1)rCr5(+x)5-r,
又（+x）5-r展开式的通项
Ts+1′=Cs5-r(1x)5-r-s·xs=C s 5-rx2s+r-5,
故所求展开式的通项为(-1)rCr5Cs5-rx2s+r-5,其中0≤r≤5,0≤s≤5-r,r、s∈N.令2s+r-5=1,则
r=0, r=2 r=4
s=3.或, s=2 或 s=1
.所求的一次项为（C05C35+C25C23+C45）x=45x.
解法二（+x-1）5就是5个(+x-1)这样的“括号”的乘积，故所求一次项有以下几种可能的构成：①1个括号中出，另外2个括号中出x，余下的2个括号出-1；②2个括号中出,另外3个括号中出x;③1个括号中出x，另外4个括号中出-1.所求的一次项为：C15··C24·x2·(-1)2+C25·()2·C33·x3+C15·x·C44·(-1)4=45x.
（2）由已知，an=a1qn-1,∴n=1时,A=lg a1;
n＞1时，A=lg a1-C1n(lg a1+lg q)+C2n(lg a1+2lg q)-C3n(lg a1+3lg q)+…+(-1)nCnn(lg a1+nlg q)
=lga1［1-C1n+C2n-…+(-1)nCnn］-lg q［C1n-2C2n+3C3n-…+(-1)n-1nCnn］
=lga1·(1-1)n-lg q［nC0n-1-nC1n-1+nC2n-1-…+(-1)n-1·nCn-1n-1］
=0-nlg q［C0n-1-C1n-1+C2n-1-…+(-1)n-1Cn-1n-1］
=-nlg q·(1-1)n-1=0.