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第18讲 函数与方程
一、要点精讲
1．方程的根与函数的零点
（1）函数零点：概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。
二次函数的零点：
１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。
零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。
2.二分法
二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间，，验证·，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：
①若=，则就是函数的零点；②若·<，则令=（此时零点）；
③若·<，则令=（此时零点）；
（4）判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。
注：函数零点的性质
从“数”的角度看：即是使的实数；
从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；
若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；
若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。
注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。
3．二次函数的基本性质
（1）二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c；y=a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n。
（2）当a>0，f(x)在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0= (p+q)。
若－<p，则f(p)=m，f(q)=M；若p≤－<x0，则f(－)=m，f(q)=M；
若x0≤－<q，则f(p)=M，f(－)=m；若－≥q，则f(p)=M，f(q)=m。
（3）二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。
①方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0；
②二次方程f(x)=0的两根都大于r
③二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根
④二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。
二、典例解析
题型1：方程的根与函数零点
例1．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞)
（2）设a为常数，试讨论方程的实根的个数。
解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C。
（2）原方程等价于即
构造函数和，作出它们的图像，
易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：
①当或时，原方程有一解；②当时，原方程有两解；
③当或时，原方程无解。
题型2：零点存在性定理
例2．若函数在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，不存在实数使得；
B．若，存在且只存在一个实数使得；
C．若，有可能存在实数使得；
D．若，有可能不存在实数使得；
解析：由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项B，可通过反例“在区间上满足，但其存在三个解”推翻；同时选项A可通过反例“在区间上满足，但其存在两个解”；选项C正确，见实例“在区间上满足，但其存在实数解”。
题型3：二分法的概念
例3．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）
A．“二分法”求方程的近似解一定可将在[a,b]内的所有零点得到；
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]内的零点；
C．应用“二分法”求方程的近似解，在[a,b]内有可能无零点；
D．“二分法”求方程的近似解可能得到在[a,b]内的精确解；
解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。
例4．方程在[0，1]内的近似解，用“二分法”计算到达到精确度要求。那么所取误差限是（ ）A．0.05 B．0.005 C．0.0005 D．0.00005
解析：由四舍五入的原则知道，当时，精度达到。此时差限是0.0005，选项为C。
题型4：一元二次方程的根与一元二次函数的零点
例5．　设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明。
证明：由题意可知，,
∴ ,∴ 当时，。
又,
∴ ,
综上可知，所给问题获证。
例6．已知二次函数，设方程的两个实数根为和.
（1）如果，设函数的对称轴为，求证：；
（2）如果，，求的取值范围.
解析：设，则的二根为和。
（1）由及，可得 ，即，即
两式相加得，所以，；
（2）由, 可得 。
又，所以同号。
∴ ，等价于或,
即 或解之得 或。
题型5：一元二次函数与一元二次不等式
例7．设，若，，, 试证明：对于任意，有。
解析：∵ ,
∴ ,
∴ .
∴ 当时，

当时，

综上，问题获证。
例8．已知二次函数，当时，有，求证：当时，有
解析：由题意知：，
∴ ，
∴ 。
由时，有，可得 。
∴ ,
。
（1）若，则在上单调，故当时，
∴ 此时问题获证.
（2）若，则当时，
又，
∴ 此时问题获证。综上可知：当时，有。
点评：研究的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑，，，这样做的好处有两个：一是的表达较为简洁，二是由于正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的。要考虑在区间上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑在区间端点和顶点处的函数值。
题型6：二次函数的图像与性质
例9．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（ ）

解析一：由指数函数图象可以看出0<<1.抛物线方程是y=a（x+）2－，其顶点坐标为（－，－），又由0<<1，可得－<－<0.观察选择支，可选A。
解析二：求y=ax2+bx与x轴的交点，令ax2+bx=0，解得x=0或x=－，而－1<－<0.故选A。
例10．设a∈R，函数f(x)=x2+|x－a|+1,x∈R.
（1）讨论f(x)的奇偶性；（2）求f(x)的最小值.
解：（1）显然a=0时，f(x)为偶函数，当a≠0时，f(a)=a2+1, f(－a)=a2+2|a|+1
f(a)≠f(－a), f(a)+f(－a)≠0，∴ 此时f(x)为非奇非偶函数.
（2）首先应先去掉绝对值，再进行讨论.
①当x≤a时，.若,则f(x)在区间（-∞，a]上单调递减，
∴ f(x)的最小值为f(a)=a2+1.(如图(I))
若，则f(x)在区间（-∞，a]上的最小值为（如图II).

②当x≥a时，，
若，则f(x)在[a,+∞]上的最小值为（如图III）。
若，则f(x)在[a,+∞]上单调递增。
则f(x)在[a,+∞]上的最小值为f(a)=a2+1.(如图IV)。
综上，当时，f(x)最小值为。当时，f(x)最小值为a2+1。
当时，f(x)最小值为。
题型7：二次函数的综合问题
例11．已知函数和的图象关于原点对称，且。
(Ⅰ)求函数的解析式； (Ⅱ)解不等式；
(Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围。
解析：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则
∵点在函数的图象上，∴
(Ⅱ)由
当时，，此时不等式无解。当时，，解得。
因此，原不等式的解集为。
（Ⅲ）
①
②
ⅰ）ⅱ）
例12．已知函数。
（1）将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式；
（2）函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式；
（3）设，已知的最小值是且，求实数的取值范围。
解析：(1)
(2)设的图像上一点，点关于的对称点为，由点Q在的图像上，所以，于是即
（3）。设，则。
问题转化为：对恒成立. 即
对恒成立. （*）
故必有.（否则，若，则关于的二次函数开口向下，当充分大时，必有；而当时，显然不能保证（*）成立.），此时，由于二次函数的对称轴，所以，问题等价于，即，解之得：。此时，，故在取得最小值满足条件。