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理想流体的动量传递一欧拉运动方程
冶金机械
流体的运动方程是牛顿第二运动定律在流体流动冶金机械现象中的应用。牛顿第d(mu)描述，即：
F
dt
定律用动量来，因为作用力与动量率相当，故流体的运动方程也称动量传递方程。对密度为"的理想流体，在直角坐标系下从流场中取一微元六面体，其边长分别为ax，：和de，顶角A的坐标为(x，：，z)，如图1-2-22所示。根据牛顿第二运动定律，对该微元体有
■作用在微元体_

[流出微元体]

[流入微元体]

_微元体内动_
-上的合外力.
=
的动量率

的动量率
+
量率的积累
(1-2-69)
率」L量率的积累」
下面首先分析流体沿x轴方向流动的动量传递现象。
(1)微元体的受力分析
作用于该微元体上的力有表面力和质量力两种。对理想流体而言，表面力只有压力，粘性力为零;质量力有重力、电磁力等。
设微元体顶角A处的压力为？则单位时间内在x方向作用于微元体上的净压力为ABCD面和EFGH面所受压力之代数和，即
[p-(p+#dx)d:dz=-^dxayz
(1-2-70)
2

图1-2-22理想流体的动量守恒方程推导示意图设单位质量流体的质量力沿x轴方向的分量为X，则微元体在x轴方向所受的质量力为
pXdxdyz (1-2-71)
x轴方向微元体所受外力之合力为
(1-2-72）
(2)微元体的动量分析
设微元体顶角A处的流体质点在x，y，z轴方向的对流动量通量分别为！uxux，Puxuy和pUxUz。
在x轴方向，从ABCD面流入和从EFGH面流出微元体的动量率分别为：A^dx]dydz
在x轴方向流出微元体的净动量率为二者之差，即
[(PUxUx\^11(PUxUx)11[pUxUx+ "x dxjdydz-pUxUxdydz= "x dxdydz
同样，在y轴方向，从ADHE面流入和从BCGF面流出微元体的沿x方向的动量率分别为：pUxUydxdz和[pUxUy4(pUxUydx]dxdz。因此，在y轴方向流出的沿x轴方向的净动量率为：(pUxUy)"ydxdydz
同理，在z轴方向流出的沿x轴方向的净动量率为：
"(pUxU2)nn
dxdydz
"z
三者之和即为x轴方向总的净动量率：
『（pUxUx)(pUxUy)!■ "V + "y
(pUx
x）"(UxUy）"(
"x
又微元体内动量率的积累为：
PUxUz
"z
■]dxdydz
(1-2-73)
"t
dxdydz
(Ul)
将式^-二-）])、！-#-)])和^-二-）々)代入式（1-2-69)，则有
(V ^1 f"(PUxUx) "(PUxUv) "(PUxUz)l!!1丄"（PUx)]11
l!入一"x/dxdydz=L " + "~^+ " Jdxdydz4~~dxdydz
即"p"(puxux)"(puxuY)"(puxu2)"(pux)!X_"x="x'"y ^'
"x
"z
"t
(1-2-75)
将上式右端的各项展开pX-
"p
■"x=UxL"x
「"(pUx) "(pUy) "(pu.
I"v "y "z
"t
'"Ux "Ux "Ux"Ux\
，"x+Uy"(+Uz"
将连续性方程式(1
.57)代入上式，则有
"&x
1"p_"Ux
p"x"t
"Ux
X"~r=可+Ux"x+Uy"y'Uz
"Ux
"z
同理，可导出沿y，z轴方向的分动量守恒方程分别为：
"u("u("u(
丄"#_"Uyp"y"t
3"丄"p_"Uz
p"z"t
考虑到速度U的随体导数为
Du_"uDt_"t
因此，式(1"2-76)可改写为
X
Ux"xy"yz"z
"Uz "Uz
Ux"x+Uy"(+Uz
"Uz
(1-2-76a)
(1-2-76b)(1-2-76c)
"U
"U
Y-
U化=DtM=Dt蒂
U'^ax选办远巧I"IIPljpIIp
U
Uz
"U
"z
(1-2-77a)1-2-77b)(1-2-77c)
上述三式可统一写成向量形式，即
r1。■Du
F-—#"p_—pFDt
(1
■78)
式(1-2-76)~(1-2-78)即为理想流体的运动微分方程，该方程由欧拉于1755年首先提出，因此，也称为欧拉运动方程。它是研究理想流体运动的基础，对稳定流动与不稳定流动、可压缩流体与不可压缩流体都适用。
若流体在重力场中作稳定流动，质量力只有重力，则XzO.YzO.Z:.76)可简化为
g，!&=0，式(1

"丄"p=
p"x
"Ux
x"x
"Ux
Uy"y+
"UxUz"z
(1-:
-79a)

"丄"p_
p"y"
"Uy
&x"x+
"Uy
&y"y+
"Uy
&z"z
(1-：
1-79b)

:丄"p
-g-p"z
"&z
_&x"x
"Uz
+&y"y
"&z+UzTT-
z"z
(1-:
Z-79c)
上述方程组(1-
79)存在四个未知数，ux，
Uy，z和
p，已有三个方程，加上连续性方程，
则可以求解。若流体为可压缩性气体，则p将随p而变，需联入气体状态方程才能求解。
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