武汉市二中2015年下学期高一数学(理)期末试卷及答案.doc

武汉二中2014——2015学年下学期
高一年级期末考试
数学（理科）试卷
命题教师: 江峰 　审题教师: 赖海燕　
考试时间: 2015年7月2 日 上午9: 00—11: 00 试卷满分: 150分

一、选择题: 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.的值为 （　　）
A. B. C. D.
2. 将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的侧视图为 （ ）
侧视
A.
B
D
C

]3. 设是两条不同的直线, 是两个不同的平面, 则能得出的是 （　　）
A. , , B. , ,
C. , , D. , ,
4.为等差数列,为其前项和, 则 （　　）
A. B. C. D.
5. 如图所示, 在直三棱柱ABC ­A1B1C1中, BC＝AC, AC1⊥A1B, M, N
分别为A1B1, AB的中点, 给出下列结论: ①C1M⊥平面A1ABB1;
②A1B⊥AM; ③平面AMC1∥平面CNB1.其中正确结论的个数为（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 在中, 若, 则边上的高等于（　　）
A. B. C. 3 D.
7. 已知圆C: x2＋y2－2x＝1, 直线l: y＝k (x－1)＋1, 则与C的位置关系是 （　　）
A. 一定相离 B. 一定相切
C. 相交且一定不过圆心 D. 相交且可能过圆心
8. 已知是正数, 且满足. 那么的取值范围是 （　　）
A. B. C.(1,16) D.
9. 已知数列满足, 若是递减数列, 则实数的
取值范围是 （　　）w w w .x k b 1.c o m
A. (, 1) B. (, ) C. (, 1) D. (, )
10. 正方体ABCD ­ A1B1C1D1的棱长为1, E, F分别为线段AA1, B1C上的点, 则三棱锥D1 ­ EDF
的体积为 （　　）
A. B.
C. D.
11. 在中, , , 是的中点, 若是的中点, 是（包括边界）内任一点. 则·的取值范围是 （　　）
A. B. C. D.
12. 数列满足: , 且对每个, 是方程的两根, 则的
前6项的和的4倍为 （　　）
A. 183 B. 132 C. 528 D. 732
二、填空题: 本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分
13. 已知满足约束条件则的最大值为　 　.
14.已知圆: , 直线与圆相切, 且切点在第四象限, 则 .
15.已知,,且,若恒成立,则m的取值范围是___________________
16. 等差数列中, , 且其前n项和Sn有最小值, 以下命题正确的是 .
①公差; ②为递减数列; ③S1, S2……S19都小于零, S20, S21……都大于零;
④时, Sn最小; ⑤时, Sn最小.
三、解答题: 本大题共6小题, 共70分. 17、18题10分, 19、20、21题12各12分, 22题14分; 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 公差不为零的等差数列中, , 成等比数列.
(1) 求数列的通项公式;
(2) 设, 求数列的前项和.

18. 已知f(x)＝a·b, 其中a＝(2cos x, －sin 2x), b＝(cos x, 1)(x∈R).
(1) 求f(x)的最小正周期和单调递减区间;
(2) 在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, f(A)＝－1, a＝, ·＝3, 求b和c
的值(b＞c).

19. 已知直线l的方程为t(x-1)+2x+y+1＝0 (t∈R)
(1) 若直线l在两坐标轴上的截距相等, 求直线l的方程;
(2) 若直线l不经过第二象限, 求实数t的取值范围.

20. 已知圆C: x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线l: x＋2y－3＝0.
(1) 若直线l与圆C没有公共点, 求m的取值范围;
(2) 若直线l与圆C相交于P、Q两点, O为原点, 且OP⊥OQ, 求实数m的值.

x k b 1 . c o m

21. 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是平行四边形, 平面PAB⊥平面ABCD, PA＝PB
＝AB＝AD,∠BAD＝60º, 点E,F分别为AD,PC的中点.
(1) 求证: EF∥平面PAB;
(2) 求二面角D-PA-B的余弦值.

22. 设是非负等差数列的前n项和, ,若, 求证:
(1) 成等差数列;
(2) .
武汉二中2014——2015学年下学期
高一年级期末考试
数学试卷参考答案
1－6　CDCADA 7－12　CBDABD
13. ; 　　　14 . ; 　　　 15 ; 　 16. ①③⑤
17. (1) 数列{an}的通项公式为
　 (2) ,数列{bn}是以2为首项，8为公比的等比数列，
18. (1) T＝π　f(x)的单调递减区间为，k∈Z　
(2) b＝3，c＝2

19. (1)当直线l过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，此时相等，
所以t＝1，直线l的方程为3x＋y＝0.
当直线l不过原点时，由截距存在且均不为0，
得＝t－1，即t＋2＝1，
所以t＝－1，直线l的方程为x＋y＋2＝0.
故所求直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.

(2)将直线l的方程化为y＝－(t＋2)x＋t－1，
因为l不经过第二象限，
所以或所以t≤－2，x k b1 . co m
所以t的取值范围是(－∞，－2].

20.(1)圆的方程为(x＋)2＋(y－3)2＝，
故有>0，解得m<.
将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，
得消去y，得x2＋()2＋x－6×＋m＝0，
整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0.①
∵直线l与圆C没有公共点，∴方程①无解．
故有Δ＝102－4×5(4m－27)<0，解得m>8.
∴m的取值范围是(8，)．
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由OP⊥OQ，得·＝0，即x1x2＋y1y2＝0.②w w w .x k b 1.c o m
由(1)及根与系数的关系，得
x1＋x2＝－2，x1x2＝.③
又∵P、Q在直线x＋2y－3＝0上，
∴y1y2＝×＝[9－3(x1＋x2)＋x1x2]．
将③代入上式，得y1y2＝，④
将③④代入②，得x1x2＋y1y2＝＋＝0，
解得m＝3.
代入方程①检验得Δ>0成立，∴m＝3.
21.（1）如图，取PB的中点G，联结AG，FG，
∵点F为PC的中点，
∴FG∥BC,且FG=BC
又底面ABCD是平行四边形，点E为AD的中点
∴AE∥BC,且AE=BC
∴FG∥AE且FG=AE
∴四边形AEFG是平行四边形
∴EF∥AC,又AG 平面PAB， EF平面 PAB
∴EF∥平面PAB
（2）如图，取PA的中点N，连BN,DN
∵△PAB是等边三角形, ∴BN⊥PA.
∵AB=AD,∠ BAD=60º
∴△ABD是直角三角形，且∠ ABD=90º
又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB. BD 平面ABCD,
BD ⊥AB ∴BD⊥平面PAB
又PB平面PAB，∴BD⊥PB
又PB=AB, ∴Rt△PBD ≌ Rt△ABD
∴PD=AD,DN⊥AP，
∴∠DNB是二面角D-PA-B的平面角．
由BD⊥平面PAB可知BD ⊥BN,
在Rt△BDN中,BD=AB=2BN,DN=BN,
∴
∴二面角D-PA-B的余弦值为
22. (1) 证明略
(2)证明：在等差数列中，由易得，等式两边同时加，得. 由等差数列前n项和公式化简得，有
因此，，
故.
又 （以上等号可同时成立）
故 成立

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