高中数学复习专题讲座(第2讲)充要条件的理解及判定方法.doc

高中数学复习专题讲座 充要条件的理解及判定方法高考要求 充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系重难点归纳 (1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念当“若p则q”形式的命题为真时，就记作pq，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“，反之也真”等(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质(4)从集合观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条件(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性)典型题例示范讲解 例1已知p|1|2,q:x22x+1m20(m0),若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围命题意图 本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性知识依托 本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了错解分析 对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难技巧与方法 利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决解由题意知命题若p是q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为p是q的充分不必要条件p:|1|2212132x10q:x22x+1m20x(1m)x(1+m)0 *p是q的充分不必要条件，不等式|1|2的解集是x22x+1m20(m0)解集的子集又m0不等式*的解集为1mx1+m，m9，实数m的取值范围是9，+例2已知数列an的前n项Sn=pn+q(p0,p1),求数列an是等比数列的充要条件命题意图 本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性知识依托 以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定错解分析 因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明技巧与方法 由an=关系式去寻找an与an+1的比值，但同时要注意充分性的证明解a1=S1=p+q当n2时，an=SnSn1=pn1(p1)p0,p1,=p若an为等比数列，则=p=p,p0，p1=p+q，q=1这是an为等比数列的必要条件下面证明q=1是an为等比数列的充分条件当q=1时，Sn=pn1(p0,p1)，a1=S1=p1当n2时，an=SnSn1=pnpn1=pn1(p1)an=(p1)pn1 (p0,p1)=p为常数q=1时，数列an为等比数列即数列an是等比数列的充要条件为q=1例3已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根、，证明|2且|2是2|a|4+b且|b|0即有4+b2a(4+b)又|b|44+b02|a|4+b(2)必要性由2|a|4+bf(2)0且f(x)的图象是开口向上的抛物线方程f(x)=0的两根，同在(2，2）内或无实根，是方程f(x)=0的实根，同在(2，2）内，即|2且|2例4 写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假.（1）若x、y都是奇数，则x+y是偶数；（2）若xy=0，则x=0或y=0；（3）若一个数是质数，则这个数是奇数.解：（1）命题的否定：x、y都是奇数，则x+y不是偶数，为假命题.原命题的否命题：若x、y不都是奇数，则x+y不是偶数，是假命题.（2）命题的否定：xy=0则x0且y0，为假命题.原命题的否命题：若xy0，则x0且y0，是真命题.（3）命题的否定：一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题.原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题.例5 有A、B、C三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条.A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒内”.如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？解：若苹果在A盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为真，不合题意.若苹果在B盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为假，C盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B盒内.同样，若苹果在C盒内，则B、C两盒子上的纸条写的为真，不合题意.综上，苹果在B盒内.学生巩固练习 1函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( )Aab=0Ba+b=0Ca=b Da2+b2=02 “a=1”是函数y=cos2axsin2ax的最小正周期为“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既非充分条件也不是必要条件3 a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a1)y=a7平行且不重合的_4命题A两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B曲线F(x,y)+G(x,y)=0(为常数)过点P(x0,y0),则A是B的_条件5设，是方程x2ax+b=0的两个实根，试分析a2且b1是两根、均大于1的什么条件？6已知数列an、bn满足bn=,求证数列an成等差数列的充要条件是数列bn也是等差数列7已知抛物线Cy=x2+mx1和点A(3，0)，B(0，3)，求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件8 p:2m0,0n2,b=1,qp(2)为证明pq,可以举出反例取=4,=,它满足a=+=4+2,b=4=21,但q不成立综上讨论可知a2,b1是1,1的必要但不充分条件6证明必要性设an成等差数列，公差为d,an成等差数列 从而bn+1bn=a1+nda1(n1) d=d为常数 故bn是等差数列，公差为d充分性:设bn是等差数列，公差为d,则bn=(n1)dbn(1+2+n)=a1+2a2+nanbn1(1+2+n1)=a1+2a2+(n1)an得nan=bn1从而得an+1an=d为常数，故an是等差数列综上所述，数列an成等差数列的充要条件是数列bn也是等差数列7解 必要性由已知得，线段AB的方程为y=x+3(0x3)由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点，所以方程组*有两个不同的实数解消元得x2(m+1)x+4=0(0x3)设f(x)=x2(m+1)x+4,则有充分性当3x时，x1=0方程x2(m+1)x+4=0有两个不等的实根x1,x2,且0x1x23,方程组*有两组不同的实数解因此，抛物线y=x2+mx1和线段AB有两个不同交点的充要条件是3m8解 若关于x的方程x2+mx+n=0有2个小于1的正根，设为x1,x2则0x11,0x21,有0x1+x22且0x1x21,根据韦达定理 有2m0;0n1即有qp反之，取m=0方程x2+mx+n=0无实根，所以pq综上所述，p是q的必要不充分条件课前后备注 1.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：依题意有pr，rs，sq，prsq.但由于rp，qp.答案：A2. “cos2=”是“=k+，kZ”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：cos2=2=2k=k.答案：A3.在ABC中，“AB”是“cosAcosB”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：在ABC中，ABcosAcosB（余弦函数单调性）.答案：C4.命题A：两曲线F（x，y）0和G（x，y）=0相交于点P（x0，y0），命题B：曲线F（x，y）+G（x，y）0（为常数）过点P（x0，y0），则A是B的_条件.答案：充分不必要5.函数f（x）=x22ax3在区间1，2上存在反函数的充分必要条件是A.a（，1B.a2，+）C.1，2D.a（，12，+）解析：f（x）=x22ax3的对称轴为x=a，y=f（x）在1，2上存在反函数的充要条件为1，2（，a或1，2a，+），即a2或a1.答案：D6.已知数列an的前n项和Sn=pn+q（p0且p1），求数列an成等比数列的充要条件.分析：先根据前n项和公式，导出使an为等比数列的必要条件，再证明其充分条件.解：当n=1时，a1=S1=p+q；当n2时，an=SnSn1=（p1）pn1.由于p0，p1，当n2时，an是等比数列.要使an（nN*）是等比数列，则=p，即（p1）p=p（p+q），q=1，即an是等比数列的必要条件是p0且p1且q=1.再证充分性：当p0且p1且q=1时，Sn=pn1，an=（p1）pn1，=p（n2），an是等比数列.