山西省长治二中2013届高三第五次练考数学理试题.doc

2013届高三第五次练考数学（理）试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合，则满足的集合有
A．1个 B．3个 C．4个 D．8 个
2. 已知复数，则的值为
A. 0 B. C.2 D. -2
3.已知数列满足且，是数列的前n项和，则等于
A. B.6 C.10 D.11
4．过双曲线的右焦点F且与轴垂直的直线与双曲线交于Ａ，Ｂ两点，抛物线过A，B两点，则等于
A． B． C． D．

5. 函数 的图像是

6.如果执行右面的程序框图，那么输出的S=
A. 1 B. C. D.
7．将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平移个单位长度，所得函数图像的一条对称轴为
A . B.
C . D.
8.由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是
A．72 B．96 C．108 D．144
9. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是
A. B. C. D.
10.已知椭圆的焦点为，在长轴上任取一点M,过M作垂直于的直线交椭圆于点P,则使的点的概率为
A． B．　　　C． D．
11.已知抛物线与椭圆有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，轴，则椭圆的离心率是
A . B. C. D.
12.设函数区间集合，则使得的实数对有
A.1个 B.2个 C.3个 D.无数多个
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)
13.已知向量则等于 .
14.设为坐标原点,满足,则的最大值为 .
15.将一枚硬币连掷5次,如果出现次正面的概率等于出现次正面的概率,那么的值为 .
16.已知数列满足：，且是等比数列，则的表达式为 .
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17.（本小题满分12分）在中,角所对的边分别为,且满足
(1)求的面积; (2)若求的值.
18.（本小题满分12分）某高校在2011年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组得到的频率分布直方图如图所示。
（1）分别求第3，4，5组的频率；
（2）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试。(i)已知学生甲和学生乙的成绩均在第3组，求学生甲和乙同时进入第二轮面试的概率；（ii）学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望。
C
C1
B1
A1
H
B
A
19. (本题满分12分）如图所示,在三棱柱中,是正方形的中心，平面，且.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值.
20.（本小题满分12分）已知椭圆的焦点坐标为,过垂直于长轴的直线交椭圆于两点,.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线与椭圆交于不同的两点,则的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值,及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.

21.（本小题满分12分）设函数
（1）求的单调区间；
（2）若，且当时，求的最大值。
请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，A,B,C,D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E,点F在BA的延长线上。
（1）若求的值；
（2）若，证明：∥。

23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为
（1） 求C的直角坐标方程；
（2） 直线为参数）与曲线C交于A,B两点，与轴交于E,求
的值。
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设.
(1) 解不等式
(2) 若存在实数满足试求实数的取值范围。
高三五练理科数学参考答案
一、选择题：ＤＣＢＢＡ　　ＣA C ＣＤ　　B C
二、13．；14.５；15.２；16.
三、解答题：
17. 解：（１）因为，所以
又由 得所以，
因此．――――――――――――――――――――6分
（２）由（１）知，，又，所以或，，所以．――――――――――――１2分……
18.解：（1）第3组的频率为0.3，第4组的频率为0.2，第5组的频率为0.1.-----3分
（2）（i）设事件A:学生甲和乙同时进入第二轮面试，则----2分 .
（ii）由分层抽样的定义知：6名学生有3名来自第3组，2名来自第4组，1名来自第5组，所以X的可能取值为0，1，2，且
----------8分
X 0 1 2
P
所以。---------------------------------12分
19.解：如图所示,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点.依题意得
(1)易得
于是
所以异面直线AC与所成角的余弦值为.---------------------------6分
(2)易知
设平面的法向量,则,即,不妨令,可得.
同样可设面的法向量,得.
于是,从而.
所以二面角的正弦值为.-----------------------------12分
20.解（1）设椭圆的方程为，由焦点坐标得.由 ,可得.又,所以,故椭圆方程为.----------4分
(2)设,不妨设,设的内切圆的半径为,则的周长=,因此的面积最大, 就最大.

由题意知,直线的斜率不为零，可设直线的方程为
由，得，得，
.所以=,
令,则,则当时取等号,所以,这时所求内切圆面积的最大值为,此时的直线方程.-----------------12分
21.解：可知函数的定义域，.
若则所以在上单调递增---------------------------2分
若，则当当
所以在上单调递减，在上单调递增。-----------------------5分
（2）由于，所以
故当时，
令，则---------------------7分
由（1）知，函数在上单调递增
而所以在上存在唯一的零点
故在上存在唯一的零点。-----------------------------------------9分
设此零点为，则，当当，所以在上的最小值为，又由=0，可得，所以
，因为，故整数的最大值为2.-------------------12分
22.解: (1) 四点共圆，又∽，-----------5分
（2）证明：又∽又四点共圆，∥。--------------------------10分
23．解：（1）C的直角坐标方程为即------5分
（2）将的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得，所以
.-------------------------10分
24.解(1) 由图像可得的解集为--------5分
(2)函数 -的图像是经过点（0，-1）的直线，由图像可得------------------10分