高三理科数学075.doc

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期数 0601 SXG3 075
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇

[[同步教学信息]
预 习 篇

预习篇五十七 高三理科数学总复习三十五
——不等式综合应用

【基础知识概要】
1.运用不等式求一些最值问题.
用a+b≥2求最小值；用ab≤（）2≤求最大值.
2.某些函数的单调性的判定或证明也就是不等式的证明.
3.求函数的定义域，往往直接归纳为解不等式（组）.
4.三角、数列、立体几何和解析几何中的最值都与不等式有密切联系.
5.利用不等式可以解决一些实际应用题.
【典型例题解析】
例1已知函数f（x）=－+（x＞0）.
（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0；
（3）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围.
解：（1）f（x）在（0，+∞）上为减函数，
∵（x）=－＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数.
（2）由f（x）＞0得－+＞0，
即＜0.
①当a＞0时，不等式解集为{x|0＜x＜2a}.
②当a＜0时，原不等式为＞0.
解集为{x|x＞0}.
（3）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，
即－++2x≥0.∴≤+2x.
∵+2x≥4，∴≤4.
解得a＜0或a≥.

例2已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b、c∈R），不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0.
（1）求证：b+c=－1；
（2）求证：c≥3；
（3）若函数f（sinα）的最大值为8，求b、c的值.
（1）证明：∵|sinα|≤1且f（sinα）≥0恒成立，可得f（1）≥0.
又∵1≤2+cosβ≤3且f（2+cosβ）≤0恒成立，可得f（1）≤0，
∴f（1）=01+b+c=0b+c=－1.
（2）证明：∵b+c=－1b=－1－c，
∴f（x）=x2－（1+c）x+c=（x－1）（x－c）.
∴x－c≤0，即c≥x恒成立.∴c≥3.
（3）解：∵f（sinα）=sin2α－（1+c）sinα+c=（sinα－）2+c－（）2，
∴当sinα=－1时，f（sinα）的最大值为1－b+c.
由1－b+c=8与b－c=－1联立可得b=－4，c=3.

例3已知函数f（x）满足2axf（x）=2f（x）－1，f（1）=1，设无穷数列{an}满足
an+1=f（an）.
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若a1=3，从第几项起，数列{an}中的项满足an＜an+1；
（3）若1+＜a1＜（m为常数且m∈N，m≠1），求最小自然数N，使得当n≥N时，总有0＜an＜1成立.
解：（1）令x=1得2a=1，∴a=.
∴f（x）=.
（2）若a1=3，由a2==－1，a3==，a4==，
假设当n≥3时，0＜an＜1，则0＜an+1=＜=12－an＞0.
从而an+1－an=－an=＞0an+1＞an.
从第2项起，数列{an}满足an＜an+1.
（3）当1+＜a1＜时，a2=，得＜a2＜.
同理，＜a3＜.
假设＜an－1＜.
由an=与归纳假设知＜an＜对n∈N*都成立.
当n=m时，＜am，即am＞2.
∴am+1=＜0.
0＜am+2=＜＜1.
由（2）证明知若0＜an＜1，则0＜an+1=＜=1.
∴N=m+2，使得n≥N时总有0＜an＜1成立.

例4已知二次函数y=ax2+2bx+c，其中a＞b＞c且a+b+c=0.
（1）求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点.
（2）设函数图象截x轴所得线段的长为l，求证：＜l＜2.
证明：（1）由a+b+c=0得b=－（a+c）.
Δ=（2b）2－4ac=4（a+c）2－4ac=4（a2+ac+c2）=4［（a+）2+c2］＞0.
故此函数图象与x轴交于相异的两点.
（2）∵a+b+c=0且a＞b＞c，∴a＞0，c＜0.
由a＞b得a＞－（a+c），∴＞－2.
由b＞c得－（a+c）＞c，∴＜－.
∴－2＜＜－.
l=|x1－x2|=.
由二次函数的性质知l∈（，2）.
例5已知c＞0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x－2c|＞1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.
解：函数y=cx在R上单调递减0＜c＜1.
不等式x+|x－2c|＞1的解集为R函数y=x+|x－2c|在R上恒大于1.
∵x+|x－2c|=
∴函数y=x+|x－2c|在R上的最小值为2c.
∴不等式x+|x－2c|＞1的解集为R2c＞1c＞.
如果P正确，且Q不正确，则0＜c≤.
如果P不正确，且Q正确，则c≥1.
∴c的取值范围为（0，］∪［1，+∞）.
【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．已知y=loga（2－ax）在 ［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是
A.（0，1） B.（1，2） C.（0，2） D.［2，+∞）
2. 设M=a+（2＜a＜3），N=log（x2+）（x∈R），那么M、N的大小关系是
A.M＞N B.M=N C.M＜N D.不能确定
3．若＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有
①a+b＜ab ②|a|＞|b| ③a＜b ④+＞2
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
4．如果对任意实数x，不等式|x+1|≥kx恒成立，则实数k的范围是____________.
5．b g糖水中有a g糖（b＞a＞0），若再添m g糖（m＞0），则糖水变甜了.试根据这一事实，提炼出一个不等式____________.
同步检测[※※级]
一、选择题
1．已知方程sin2x－4sinx+1－a=0有解，则实数a的取值范围是
A.［－3，6］ B.［－2，6］ C.［－3，2］ D.［－2，2］
2．当x∈［－1，2］时，不等式a≥x2－2x－1恒成立，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
3．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈［3，5］时，f（x）=2－|x－4|，则
A.f（sin）＜f（cos） B.f（sin1）＞f（cos1）
C.f（cos）＜f（sin） D.f（cos2）＞f（sin2）
二、填空题
4．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个自然数，并且使这两个自然数的和最小，1=.
5．.对于0≤m≤4的m，不等式x2+mx＞4x+m－3恒成立，则x的取值范围是____________.
三、解答题
6．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0且bc≠0）.
（1）若| f（0）|=| f（1）|=| f（－1）|=1，试求f（x）的解析式；
（2）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的图象在x轴上截得的弦的长度为l，
且0＜l≤2，试确定c－b的符号.
7．已知函数f（x）=x2+bx+c（b、c∈R）且当x1时，，当1x3时，恒成立.
（1）求b、c之间的关系式；
（2）当c≥3时，是否存在实数m使得g（x）=f（x）－m2x在区间（0，+∞）上是单调函数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
8．已知函数f（x）=|log2（x+1）|，实数m、n在其定义域内，且m＜n，f（m）=f（n）.
求证：（1）m+n＞0；
（2）f（m2）＜f（m+n）＜f（n2）.

参考答案
同步落实[※级]
一、1.B 2.A 3.B
二、4. 0≤k≤1 5. ＜
同步检测[※※级]
一、1.B 2.A 3.D
二、4. 4，12 5.
三、6．解：（1）由已知，有，即，
可得，∵bc≠0，∴b≠0.∴a+c=0.
又由a＞0有c＜0.
∵|c|=1，于是c=－1，则a=1，|b|=1.
∴f（x）=x2±x－1.
（2）g（x）=2ax+b，由g（1）=0有2a+b=0，b＜0.
设方程f（x）=0的两根为x1、x2.
∴x1+x2=－=2，x1x2=.
则|x1－x2|==.
由已知0＜|x1－x2|≤2，∴0≤＜1.
又∵a＞0，bc≠0，∴c＞0.∴c－b＞0.
7．解：（1）由已知f（1）≥0与f（1）≤0同时成立，则必有f（1）=0，故b+c+1=0.
（2）假设存在实数m，使满足题设的g（x）存在.
∵g（x）=f（x）－m2x=x2+（b－m2）x+c开口向上，且在［，+∞）上单调递增，
∴≤0.∴b≥m2≥0.
∵c≥3，∴b=－（c+1）≤－4.
这与上式矛盾，从而能满足题设的实数m不存在.
8．（1）证法一：由f（m）=f（n），得|log2（m+1）|=|log2（n+1）|，
即log2（m+1）=±log2（n+1），
log2（m+1）=log2（n+1）， ①
或log2（m+1）=log2. ②
由①得m+1=n+1，与m＜n矛盾，舍去.
由②得m+1=，即（m+1）（n+1）=1. ③
∴m+1＜1＜n+1.∴m＜0＜n.∴mn＜0.
由③得mn+m+n=0，m+n=－mn＞0.
证法二：（同证法一得）（m+1）（n+1）=1.
∵0＜m+1＜n+1，∴＞=1.∴m+n+2＞2.∴m+n＞0.
（2）证明：当x＞0时，f（x）=|log2（x+1）|=log2（x+1）在（0，+∞）上为增函数.
由（1）知m2－（m+n）=m2+mn=m（m+n），且m＜0，m+n＞0，∴m（m+n）＜0.
∴m2－（m+n）＜0，0＜m2＜m+n.
∴f（m2）＜f（m+n）.
同理，（m+n）－n2=－mn－n2=－n（m+n）＜0，
∴0＜m+n＜n2.∴f（m+n）＜f（n2）.
∴.