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数学高考压轴题的特征及应对策略
江苏省姜堰中学 张圣官（225500）
以能力为立意，重视知识的发生发展过程，突出理性思维，是高考数学命题的指导思想；而重视知识形成过程的思想和方法，在知识网络的交汇点设计问题，则是高考命题的创新主体。由于高考的选拔功能，近年来的数学高考的压轴题中出现了不少以能力立意为目标、以增大思维容量为特色，具有一定深度和明确导向的创新题型，使数学高考试题充满了活力。本文准备结合近几年高考实例来谈谈数学高考压轴题的特征及应对策略。
一．数学高考压轴题的特征
1．综合性，突显数学思想方法的运用
近几年数学高考压轴题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法、能力综合型尤其是创新能力型试题。压轴题是高考试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点。
例1．（06年福建（理）第21题）已知函数f(x)=－x+8x，g(x)=6lnx+m；
（Ⅰ）求f(x)在区间[t，t+1]上的最大值h(t)；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
解：（I）f(x)=－x2+8x=－(x－4)2+16；
当t+1<4，即t<3时，f(x)在[t，t+1]上单调递增，h(t)=f(t+1)=－(t+1)2+8(t+1)=－t2+6t+7；
当t≤4≤t+1，即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16；
当t>4时，f(x)在[t，t+1]上单调递减，h(t)=f(x)=－t2+8t；
综上，
（II）函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数j(x)=g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
从而有：，
∵
当x∈(0,1)时，，是增函数；当x∈(1,3)时，，是减函数；
当x∈(3,+∞)时，，是增函数；当x=1，或x=3时， ；
∴极大值=极小值==m+6ln 3－15；
当充分接近0时，当充分大时，
∴要使的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，
当且仅当 即，
所以存在实数m，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为．
点评：本小题主要考查函数的基本知识和运用导数研究函数能力；第一小问考查分类与整合等数学思想，第二小问考查函数与方程、数形结合及转化与化归数学思想。
2．高观点性，与高等数学知识接轨
所谓高观点题，是指与高等数学相联系的数学问题，这样的问题或以高等数学知识为背景，或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法。由于高考的选择功能，这类题往往倍受命题者青睐。近年来的考题中，出现了不少背景新、设问巧的高观点题，成为高考题中一道亮丽的风景。
例2．（06广东（理）22题）A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：
①对任意，都有；
②存在常数，使得对任意的，都有；
（Ⅰ）设，证明：；
（Ⅱ）设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的；
（Ⅲ）设，任取,令，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式．
解：（Ⅰ）对任意,,,,
所以对任意的，
有：，
，
所以：,
令，，
则；所以；
（Ⅱ）反证法：设存在两个使得,；
则由，得，所以，矛盾，
故结论成立。
（Ⅲ），所以；

∴
点评：本题具有高等数学中的拉格朗日中值定理的背景，一般学生解答是很困难的。在对待高观点题时要注意以下两个方面：一是高观点题的起点高，但落点低，即试题的设计虽来源于高等数学，但解决的方法是中学所学的初等数学知识，而不是将高等数学引入高考；二是高观点题有利于区分考生能力，在今后高考中还会出现，在复习时要加强“双基”，引导学生构建知识网络，提高学生的应变能力和创新能力，才能更适应新时期的高考要求。
3．交汇性，强调各个数学分支的交汇
注重在知识网络的交汇点上设计试题，重视对数学思想方法的检测，是近年来高考试题的特色。高考数学压轴题讲究各个数学分支的综合与交汇，以利于加强对考生多层次的能力考查。
例3．（08年山东卷（理）第22题）如图，设抛物线方程为，为直线 上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为．
（Ⅰ）求证：三点的横坐标成等差数列；
y
x
B
A
O
M

（Ⅱ）已知当点的坐标为时，．求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）证明：由题意设；
由得，得，所以，；
因此直线的方程为，直线的方程为；
所以 ①； ②；
由①、②得，因此，即；
所以三点的横坐标成等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当时，将其代入①、②并整理得：
， ，
所以是方程的两根，因此，，
又，所以；
由弦长公式得；
又，所以或，因此所求抛物线方程为或．
（Ⅲ）解：设，由题意得，
则的中点坐标为，
设直线的方程为，
由点在直线上，并注意到点也在直线上，代入得；
若在抛物线上，则，
因此或．即或；
（1）当时，则，此时，点适合题意；
（2）当，对于，此时，
， 又，，
所以，即，矛盾；
对于，因为，此时直线平行于轴，
又，所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，
∴ 时，不存在符合题意的点．综上所述，仅存在一点适合题意．
点评：本题从形式上看兼有解几、数列、向量等多个数学分支，但细细分析可知数列和向量都只须了解基本概念即可，主要还是解几的内容。
二．数学高考压轴题的应对策略
1．抓好“双基”，注意第一问常常是后续解题的基础
在平时的学习中，一定要牢固地掌握基本、知识基本方法、基本技能的运用，这是解决数学高考压轴题的关键，因为越是综合问题越是重视对基本知识方法的考查。这里也要提醒大家一点，数学高考压轴题的第一问常常是后续解题的基础。
例4．（04年全国卷2 理科22题）已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝xlnx．
(I)求函数f(x)的最大值；
(II)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g()＜(b－a)ln2．
解：(I)函数f(x)的定义域是(-1,∞),(x)=.令(x)=0，解得x=0，当-1<x<0时, (x)>0,当x>0时,(x)<0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0。
(II)证法一：g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=a.
由(I)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x≠0)，由题设0<a<b,得,因此,.
所以a>-.
又 a<a
综上0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.
(II)证法二：g(x)=xlnx,,设F(x)= g(a)+g(x)-2g(),
则当0<x<a时因此F(x)在(0,a)内为减函数当x>a时因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g().
点评：虽然是压轴题，但第一问考查的就是基本知识与方法。而第二问的两种解法每一种显然都是建立在第一问的基础上的。
2．要把数学思想方法贯穿于复习过程的始终
数学学科包括许多分支——代数、三角、立体几何、解析几何等，这众多的分支紧密相连，组成了数学的统一整体，而许多数学思想方法蕴涵在各个分支中，如集合的思想、公理化的思想、化归思想、平面化的思想等。数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它是在数学知识的发生、发展和应用的过程中孕育出来的。数学思想方法是数学知识的精髓，是对数学的本质的认识，是数学学习的指导思想和普遍使用的方法。提炼数学思想方法，把握数学学科特点，是学会数学的提出问题、分析问题和解决问题，把数学学习与培养能力、发展智力结合起来的关键。因此，在数学复习的过程中，应时时注意引导学生从整体上把握数学、认识数学，要把数学思想方法贯穿于数学复习过程的始终。
数学思想方法要及时加以强化。可以从两方面考虑：一个是及时巩固，将新学习的思想方法与以往学习的内容联系起来，这样不但可以使新知识纳入到已有的数学认知结构中，还可以对先前学习的相应内容起到促进作用，实现正迁移；另一个是通过做一定数量的习题来理解和领会数学思想方法，习题需要精心选择，不但要在数学领域中选择，还要兼顾与其他学科的交汇以及在实际生活中的应用，习题数量不宜太多，要力求举一反三。
数学思想方法要时时、处处加以渗透。数学思想方法的隐蔽性较强，抽象程度较高，学生学习的难度较大。在教学中要充分挖掘知识与技能中的思想方法，时时、处处渗透。以立体几何为例，就可以用化归思想驾驭教材，在宏观上我们可以将空间问题化归到某一平面上或将之放到我们所熟知的图形背景中，在微观上如何实现化归呢？可以通过转化条件或者展图来实施平面化，有时可以通过“割与补”来将问题更清楚化，比如可以将特殊是四面体补成长方体或正方体等，这时数学思想与数学方法就得到了很好的体现。再如，分类讨论思想在数学学习中有着不一般的地位，这是因为人们解决任何问题都是在一定的范围内进行的，这个范围就是问题的论域，在整个论域内解决问题遇到困难时，往往先把论域划分为若干种情况一一讨论，显然分类的作用就是化整为零、分而治之、各个击破。由具体问题衍生出来的数学思想方法，像函数方程思想、数形结合的方法等，也需要我们给予足够的重视。把数学思想方法贯穿于数学复习过程的始终，让学生从整体上把握数学、认识数学，使数学复习效果达到最大化！
3．掌握一些“模型题”，由此出发易得解题突破口
一些高考压轴题，常常是由基本题型（即“模型题”）演变而成，掌握“模型题”的解题思路，由此出发易得解题突破口。
例5（06上海高考压轴题）已知函数有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在(0,]上是减函数，在[,0)上是增函数；
（1）如果函数y=x+（x>0）的值域为[6,+∞)，求b的值；
（2）研究函数y=（常数c>0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数y=x+和y=（常数a>0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只需写出结论，不必证明），并求函数F(x)=+（n是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
解：（1）函数y=x+(x>0)的最小值是，则=6，∴b=log29；
（2）设0<x1<x2，y2－y1=.
当<x1<x2时，y2>y1, 函数y=在[,+∞)上是增函数；
当0<x1<x2<时，y2<y1，函数y=在(0,]上是减函数；
又y=是偶函数，
∴该函数在(－∞,－]上是减函数，在[－,0)上是增函数；
（3）可以把函数推广为y=（常数a>0），其中n是正整数；
当n是奇数时，函数y=在(0,]上是减函数，在[,+∞)上是增函数；
在(－∞,－]上是增函数，在[－,0)上是减函数，
当n是偶数时，函数y=在(0,]上是减函数，在[,+∞) 上是增函数；
在(－∞,－]上是减函数，在[－,0)上是增函数；
F(x)= +
=
因此F(x) 在 [,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数；
所以，当x=或x=2时，F(x)取得最大值()n+()n；当x=1时F(x)取得最小值2n+1．
点评：该题的背景就是“耐克函数”，它在(0,]上是减函数，在[,0)上是增函数。这是课本上熟知的一个函数。