单元评估检测(四).doc

圆学子梦想 铸金字品牌温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元评估检测(四)第四章(120分钟160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上)1.若z(1+i)2=2i，则|z|=.【解析】因为z(1+i)2=z2i=2i，设z=a+bi(a，bR)，则(a+bi)2i=2i，即-2b+2ai=2i，所以a=1，b=0，故z=1.故|z|=1.答案：12.(2015重庆模拟)已知向量|a|=2，|b|=，且ab=3，则a与b的夹角为.【解析】设a与b的夹角为，则cos=.又因为0，所以=.答案：3.在ABC中，A=90，AB=1，AC=2.设点P，Q满足=，=(1-)，R.若=-2，则=.【解析】如图，以A点为原点，以AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建系.则B(1，0)，C(0，2)，A(0，0)，由=得P(，0).由=(1-)得Q(0，2-2)，故=(-1，2-2)，=(，-2).故=-2(2-2)=3-4=-2.解得=.答案：4.(2015贵阳模拟)已知ABC中，=a，=b，ab0，SABC=，|a|=3，|b|=5，则a与b的夹角为.【解析】SABC=|sinA=|a|b|sinA=35sinA=，所以sinA=.又ab0，所以复数z对应的点在第一象限.答案：一6.(2015南宁模拟)如图所示，非零向量=a，=b，且BCOA，C为垂足，若=a(0)，则用a，b表示为.【解析】，即，所以(-)=0，所以|2-=0，即2|a|2-ab=0，又0，解得= 答案：= 7.如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个结论：+=2；=2+2；=；()=().其中正确结论的个数为.【解析】+=+=2，故对；取AD的中点O，则=2=2+2，故对；设|=1，则=2cos=3，而=21cos=1，故错；设|=1，则|=2，()=(21cos)=.()=(11cos)=-=，故正确.综上，正确结论为.答案：3【加固训练】给出下列命题：p：函数f(x)=sin4x-cos4x的最小正周期是；q：存在xR，使得log2(x+1)0；r：已知向量a=(，1)，b=(-1，2)，c=(-1，1)，则(a+b)c的充要条件是=-1.其中所有真命题是.【解析】f(x)=sin4x-cos4x=(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)=sin2x-cos2x=-cos2x，故最小正周期为，故命题p正确；当0x+11，即-1x0时，log2(x+1)0，故命题q正确；a+b=(-1，2+1)，故(a+b)c的充要条件为-1=-(2+1)，解得=-1或=0，故命题r不正确.答案：p，q8.(2014昆明模拟)已知平面向量a=(sin2x，cos2x)，b=(sin2x，-cos2x)，R是实数集，f(x)=ab+4cos2x+2sinxcosx.如果存在mR，任意xR，f(x)f(m)，那么f(m)=.【解题提示】本题解题实质是求f(x)的最小值.【解析】由已知可得f(x)=sin4x-cos4x+4cos2x+2sinxcosx=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+4cos2x+2sinxcosx=sin2x-cos2x+4cos2x+2sinxcosx=-cos2x+2(cos2x+1)+sin2x=sin2x+cos2x+2=2sin+2.故f(x)min=0，因此f(m)=0.答案：09.设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，定义向量ab=(a1b1，a2b2)，已知m=，n=，且点P(x，y)在函数y=sinx的图象上运动，Q在函数y=f(x)的图象上运动，且点P和点Q满足：=m+n(其中O为坐标原点)，则函数y=f(x)的最大值A及最小正周期T分别为.【解题提示】可先设P(x，sinx)，由已知定义可得=+=，从而可求f(x)=sin，根据三角函数的性质可得函数的最大值及最小正周期.【解析】设P(x，sinx)，所以=+=，因为点Q在函数y=f(x)的图象上运动，所以f=sinx，所以f(x)=sin.即函数的最大值为，最小正周期为4.答案：，410.设非零向量a，b的夹角为，记f(a，b)=acos-bsin，若e1，e2均为单位向量，且e1e2=，则向量f(e1，e2)与f(e2，-e1)的夹角为.【解题提示】根据e1e2=求e1与e2的夹角，进而确定e2与-e1的夹角，根据新定义求向量f(e1，e2)与f(e2，-e1)的数量积，由此确定其夹角.【解析】设e1，e2的夹角为，则e2与-e1的夹角为-，由题意，得|e1|=|e2|=1，所以e1e2=|e1|e2|cos=cos=，故=，-=，所以f(e1，e2)=e1cos-e2sin=e1-e2，f(e2，-e1)=e2cos-=e1-e2，f(e1，e2)f(e2，-e1)=-e1e2+=-=0.所以f(e1，e2)与f(e2，-e1)的夹角为.答案：【方法技巧】平面向量的数量积的运算技巧(1)平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算，特别要注意乘法公式的应用.(2)熟记公式a2=|a|2=aa，在遇到向量模的问题时，可将所给等式(不等式)两边平方，将向量问题转化为实数问题来解决.11.(2015镇江模拟)设aR，且(a+i)2i为正实数，则a的值为.【解析】(a+i)2i=(a2-1+2ai)i=-2a+(a2-1)i，由(a+i)2i为正实数得解得a=-1.答案：-112.(2015厦门模拟)已知向量a=(x-1，2)，b=(4，y)，若ab，则9x+3y的最小值为.【解析】若ab，则ab=0，所以2x+y=2，由基本不等式得9x+3y6，当且仅当9x=3y，即x=，y=1时等号成立.答案：613.已知平面向量，且|=1，|=2，(-2)，则|2+|=.【解析】由(-2)得(-2)=2-2=0，所以=，所以(2+)2=42+2+4=412+22+4=10，所以|2+|=.答案：【方法技巧】平面向量的数量积的运算技巧(1)平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算，特别要注意乘法公式的应用.(2)熟记公式a2=|a|2=aa，在遇到向量模的问题时，可将所给等式(不等式)两边平方，将向量问题转化为实数问题来解决.14.在ABC中设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若m=(cosC，2a-c)，n=(b，-cosB)，且mn=0，则B=.【解析】由mn=0得bcosC-(2a-c)cosB=0，即b=(2a-c)，整理得ac=a2+c2-b2，又cosB=.又因为0B，所以B=.答案：二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)(2015兰州模拟)已知=(6，1)，=(x，y)，=(-2，-3)，(1)若，求x与y之间的关系式.(2)在(1)的前提下，若，求向量的模的大小.【解析】(1)=+=(x+4，y-2).因为，所以x(2-y)-y(-x-4)=0，所以x+2y=0.(2)=(x+6，y+1)，=(x-2，y-3).因为，所以=0，所以(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.又因为x+2y=0，所以(-2y+6)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0.即y2-2y-3=0，解得y=3或y=-1.即=(-6，3)或=(2，-1)，所以|=3或|=.16.(14分)(2015南昌模拟)已知复平面内平行四边形ABCD(A，B，C，D按逆时针排列)，A点对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i.(1)求点C，D对应的复数.(2)求平行四边形ABCD的面积.【解题提示】由点的坐标得到向量的坐标，运用向量、复数间的对应关系解题.【解析】(1)设点O为原点，因为向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i，所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i，又=+，所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i，又=+=(1+2i)+(3-i)=4+i，=-=2+i-(1+2i)=1-i，所以=+=1-i+(4+i)=5，所以点D对应的复数为5.(2)由(1)知=(1，2)，=(3，-1)，因为=|cosB，所以cosB=，所以sinB=，又|=，|=，所以面积S=|sinB=7.所以平行四边形ABCD的面积为7.17.(14分)设向量a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，定义一种向量积ab=(a1b1，a2b2)，已知向量m=，n=，点P(x，y)在y=sinx的图象上运动.Q是函数y=f(x)图象上的点，且满足=m+n(其中O为坐标原点)，求函数y=f(x)的值域.【解题提示】设出Q点坐标，与P点坐标建立联系后可求得y=f(x)的解析式从而可求值域.【解析】设Q(x，y)，P(x1，y1)，则由已知可得(x，y)=(x1，y1)+=+=.故即又因为P点在y=sinx上，故2y=sin，故f(x)=sin，因为xR，故-f(x).18.(16分)(2014大连模拟)已知A，B，C是ABC的三个内角，向量m=(sinA-sinB，sinC)，向量n=(sinA-sinC，sinA+sinB)，且mn.(1)求角B.(2)若sinA=，求cosC的值.【解析】(1)依题意得sin2A-sin2B=sinC(sinA-sinC)=sinAsinC-sin2C，由正弦定理得，a2-b2=ac-c2，所以a2+c2-b2=ac.由余弦定理知，cosB=，所以B=.(2)因为sinA=，所以sinA，所以AB.又B=，所以A，所以cosA=，所以cosC=cos=coscosA+sinsinA=-.19.(16分)(2015盐城模拟)设向量a=(sinx，cosx)，b=(sinx，sinx)，函数f(x)=a(a+2b).(1)求函数f(x)的单调增区间.(2)求使不等式f(x)2成立的x的取值范围.【解析】(1)f(x)=a(a+2b)=sin2x+cos2x+2(sin2x+sinxcosx)=2+2=2+2sin.由2k-2x-2k+，得k-xk+，kZ，所以f(x)的单调增区间为，kZ.(2)由f(x)=2+2sin，得f(x)=4cos，由f(x)2，得cos，则2k-2x-2k+，即k-xk+，kZ.故不等式f(x)2的解集为xk-xk+，kZ.20.(16分)已知向量a=(sin(x+)，2)，b=(1，cos(x+)，函数f(x)=(a+b)(a-b)，y=f(x)图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且经过点M.(1)求函数f(x)的解析式.(2)当-1x1时，求函数f(x)的单调区间.【解析】(1)f(x)=(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=sin2(x+)+3-cos2(x+)=-cos(2x+2)+3，由题意得周期T=4，故=，又图象过点M，所以=3-cos，即sin2=，而0，故2=，则f(x)=3-cos.(2)当-1x1时，-x+.所以当-x+0时，即x时，f(x)是减函数.当0x+时，即x时，f(x)是增函数.则函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是. 关闭Word文档返回原板块- 13 -