江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--圆锥曲线.doc

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编
圆锥曲线
一、填空题
1、（常州市2013届高三期末）已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率的值为 ▲
答案：
2、（连云港市2013届高三期末）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2 = 4x的准线交于A、B两点，AB =，则C的实轴长为 ▲ .
答案：1
3、（南京市、盐城市2013届高三期末）已知、分别是椭圆的左、右焦点, 点是椭圆上的任意一点, 则的取值范围是 ▲ ．
答案：
4、（南通市2013届高三期末）已知双曲线的一个焦点与圆x2+y2－10x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为 ▲ ．
答案：．
5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知双曲线的右焦点为若以为圆心的圆与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ .
答案：
6、（苏州市2013届高三期末）在平面直角坐标系中，双曲线的左顶点为，过双曲线的右焦点作与实轴垂直的直线交双曲线于，两点，若为直角三角形，则双曲线的离心率为 ．
答案：2
7、（泰州市2013届高三期末）设双曲线的左、右焦点分别为,,点P为双曲线上位于第一象限内一点，且的面积为6，则点P的坐标为
答案：
8、（无锡市2013届高三期末）如图，过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线L交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为 。
答案：
9、（扬州市2013届高三期末）已知圆的圆心为抛物线的焦点,又直线与圆相切，则圆的标准方程为 ▲ ．
答案：
10、（镇江市2013届高三期末）圆心在抛物线上,并且和抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．

二、解答题
1、（常州市2013届高三期末）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知分别是椭圆E:的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且.
（1）求椭圆E的离心率；
（2）已知点为线段的中点，M 为椭圆上的动点（异于点、），连接并延长交椭圆于点，连接、并分别延长交椭圆于点、，连接，设直线、的斜率存在且分别为、，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

解：（1），.，化简得，
故椭圆E的离心率为.
（2）存在满足条件的常数，.点为线段的中点，，从而，，左焦点，椭圆E的方程为.设，，，，则直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，.，.从而，故点.同理，点.三点、、共线，，从而.从而.故，从而存在满足条件的常数，.
2、（连云港市2013届高三期末）已知椭圆C：(a>b>0)的上顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2,且椭圆C过点P(，)，以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.
x
y
O
F2
(第18题图)
P
A

F11

解：(1)因为椭圆过点P(，),所以=1,解得a2=2, ………………2分
又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.所以AF2^F2P,即-×=-1, b2=c(4-3c).……6分
而b2=a2-c2=2-c2,所以c2-2c+1=0,解得c2=1,
故椭圆C的方程是+y2=1. ………………………8分
(2)①当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，代入椭圆方程得
(1+2k2)x2+4kpx+2p2－2=0.
因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，所以
△=16k2p2－4(1+2k2)(2p2－2)=8(1+2k2―p2)=0，
即 1+2k2=p2. …………………………………10分
设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则
× ==1,
即(st+1)k+p(s+t)=0(*)，或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (**).
由(*)恒成立,得解得,或, …………………………14分
而(**)不恒成立.
②当直线l斜率不存在时，直线方程为x=±时，
定点(－1，0)、F2(1，0)到直线l的距离之积d1×× d2=(－1)(+1)=1.
综上,存在两个定点(1,0),(-1,0),使其到直线l 的距离之积为定值1. ………16分
3、（南京市、盐城市2013届高三期末）如图, 在平面直角坐标系中, 已知椭圆经过点,椭圆的离心率, 、分别是椭圆的左、右焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作两直线与椭圆分别交于相异两点、.
①若直线过坐标原点, 试求外接圆的方程；
②若的平分线与轴平行, 试探究直线的斜率是否为定值？若是, 请给予证明；若不是, 请说明理由.

解: (1)由，，得，故椭圆方程为………3分
又椭圆过点，则，解得，所以椭圆的方程为………5分
(2)①记的外接圆的圆心为.因为,所以的中垂线方程为,
又由, ,得的中点为，而，
所以的中垂线方程为，由，得 …8分
所以圆T的半径为，
故的外接圆的方程为………………10分
(说明:该圆的一般式方程为)
(3)设直线的斜率为，，，由题直线与的斜率互为相反数，直线的斜率为.联立直线与椭圆方程： ，
整理得，得，
所以，整理得， …13分
又
=，所以为定值………………16分
4、（南通市2013届高三期末）已知左焦点为F(－1，0)的椭圆过点E(1，)．过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为线段AB的中点，求k1；
（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．
解：依题设c=1，且右焦点(1，0)．
所以，2a==，b2=a2－c2=2，
故所求的椭圆的标准方程为． ………………………………4分
(2)设A(，)，B(，)，则①，②．
②－①，得 ．
所以，k1=． ……………………………9分
(3)依题设，k1≠k2．
设M(,)，直线AB的方程为y－1=k1(x－1)，即y=k1x+(1－k1)，亦即y=k1x+k2，
代入椭圆方程并化简得 ．
于是，，． ………………………………11分
同理，，．
当k1k2≠0时，
直线MN的斜率k==．………………13分
直线MN的方程为，
即 ，
亦即 ．
此时直线过定点． ………………………………………………………15分
当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点．
综上，直线MN恒过定点，且坐标为． ……………………………16分
5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点
（ⅰ）设直线的斜率为直线的斜率为，求证：为定值；

（ⅱ）设过点垂直于的直线为.
求证：直线过定点，并求出定点的坐标.

答案：
．⑴由题意得 ，所以，又，…………………………………2分
消去可得，，解得或（舍去），则，
所以椭圆的方程为．……………………………………………………4分
⑵（ⅰ）设，，则，，
因为三点共线，所以， 所以，，8分
因为在椭圆上，所以，故为定值．10分
（ⅱ）直线的斜率为，直线的斜率为,
则直线的方程为，…………………………………………12分

==，
所以直线过定点． ………………………………………………………16分
6、（苏州市2013届高三期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点是椭圆的左焦点，，，分别为椭圆的右、下、上顶点，满足，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若为线段（包括端点）上任意一点，当取得最小值时，求点的坐标；
O
M
N
A
C

B

（3）设点为线段（包括端点）上的一个动点，射线交椭圆于点，若，求实数的取值范围．

答案：

7、（泰州市2013届高三期末）直角坐标XOY中，已知椭圆C：的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点是椭圆C上一点，直线PO分别交于M，N。
（1）求椭圆离心率；
（2）若MN＝，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，是椭圆C的左，右焦点，RQ平分且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围。
解：(1)P(,)，…………………………………………………………1分
·KOP=-1，∴4b2=3a2=4(a2-c2), ∴a2=4c2, ∴e= ① …………………………4分
(2)MN==，∴ ②
由①②得，a2=4,b2=3, ∴………………………………………… .8分
（3）cosα=cosβ，∴= ………………………….………….10分
∴
化简得： ∴t=-y0…………………………….................................................14分
∵0<y0<,t∈(-,0) …………………………………………………………..16分
8、（扬州市2013届高三期末）如图，已知椭圆方程为，圆方程为，过椭圆的左顶点A作斜率为直线与椭圆和圆分别相交于B、C．
（Ⅰ）若时，恰好为线段AC的中点，试求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆的离心率=，为椭圆的右焦点，当时，求的值；
（Ⅲ）设D为圆上不同于A的一点，直线AD的斜率为，当时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
解：（Ⅰ）当时，点C在轴上，且，则，由点B在椭圆上，
得， …………………2分
∴，，∴． …………………4分
（Ⅱ）设椭圆的左焦点为，由椭圆定义知，，
∴，则点B在线段的中垂线上，∴，…………6分
又，∴，，∴，
代入椭圆方程得=，∴=．…………9分
（Ⅲ）法一：由得，
∴，或，
∵，∴，则．……11分
由得，
得，或，同理，得，，……13分
当时，，，
，∴ BD⊥AD，∵为圆，
∴ ∠ADB所对圆的弦为直径，从而直线BD过定点（a,0）. ……………16分
法二：直线过定点， …………………10分
证明如下：
设，，则：
，
所以，又
所以三点共线，即直线过定点。. …………………16分
9、（镇江市2013届高三期末）已知椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为. 不过A点的动直线交椭圆于P,Q两点．
（1） 求椭圆的标准方程；
（2）证明P,Q两点的横坐标的平方和为定值；
（3）过点 A,P,Q的动圆记为圆C，动圆C过不同于A的定点，请求出该定点坐标.
19. 解：（1）设椭圆的标准方程为.由题意得.……2分
, , ……2分 椭圆的标准方程为.……4分
（2）证明：设点
将带入椭圆，化简得：
,……6分 ,
P,Q两点的横坐标的平方和为定值4.……7分
（3）(法一)设圆的一般方程为:,则圆心为（）,
PQ中点M(), PQ的垂直平分线的方程为:, ……8分
圆心（）满足，所以,……9分
圆过定点(2,0)，所以,……10分
圆过, 则 两式相加得：
,……11分
, .……12分
因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以，
由解得: ……13分
代入圆的方程为：,
整理得：,……14分
所以：……15分 解得：或(舍).
所以圆过定点(0,1).……16分
(法二) 设圆的一般方程为:,将代入的圆的方程:
.……8分
方程与方程为同解方程., ……11分
圆过定点(2,0)，所以 , ……12分
因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以.
解得: ,……13分 (以下相同)
【说明】本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系；考查定点定值问题；考查运算求解能力和推理论证能力.