第十六届“希望杯”全国数学邀请赛.doc

3A教育奥数题库 68437068 88422360
第十六届“希望杯”全国数学邀请赛
初二 第2试

一、选择题 （以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内。）
1．若a,b均为正整数，，则（ ）
（A）m一定是奇数 （B）m一定是偶数
（B）只有当a,b一个为偶数时，m是偶数
（D）只有当a,b一个为偶数，另一个为奇数时，m是偶数

2．设b＜a＜0，，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）3

3．Given a,b,c are positive integers,and a,b are prime numbers,,then the value of a+b+c is ( )
(A)14 (B)13 (C)12 (D)11
（英汉词典 positive integer：正整数。Prime number：质数。）

4．购买铅笔7支，作业本3个，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4个，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5个，圆珠笔2支共需（ ）
（A）元 （B）5元 （C）6元 （D）元

5．计算机将信息转换成二进制数来处理。二进制是“逢二进一”，如二进制数转换成十进制数是，那么二进制数转换成十进制数是（ ）
（A） （B） （C） （D）

6．已知△ABC的三个内角的比是，其中m是大于1的正整数，那么△ABC是（ ）
（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）等腰三角形

7．已知△ABC的三条高的比是3：4：5，且三条边的长均为整数，则△ABC的边长可能是（ ）
（A）10 （B）12 （C）14 （D）16

8．已知两位数能够被3整除，它的十位数字与个位数字的乘积等于它的个位数字，且它的任意次幂的个位数字等于它的个位数字。这样的两位数共有（ ）
（A）1个 （B）3个 （C）4个 （D）5个

9．放成一排的2005个盒子中共有4010个小球，其中最左端的盒子中放了a个小球，最右端的盒子中放了b个小球，如果任何相邻的12个盒子中的小球共有24个，则（ ）
（A） （B） （C） （D）

10．已知整数x , y , z满足x≤y＜z，且那么的值等于（ ）
（A）2 （B）14 （C）2或14 （D）14或17

二、填空题
11．如果，那么的绝对值等于__________。
12．已知则_____________。
13．某汽车从A地驶向B地，若每分钟行驶千米，则11点到达，若每分钟行驶千米，则11：20时距离B地还有10千米；如果改变出发时间，若每分钟行驶千米，则11点到达，若每分钟行驶千米，则11：20时已经超过B地30千米。A、B两地的路程是_____千米。
14．若是一个六位数，其中是三个互异的数字，且都不等于0，1，2，3，又M是7的倍数，那么M的最小值是__________。
15．分解因式：____________。
16．若在凸（为大于3的自然数）边形的内角中，最多有M个锐角，最少有m个锐角，则M =___________；m =____________。
17．如图1，等腰RT△ABC的直角边长为32，从直角顶点A作斜边BC的垂线交BC于，再从作交AC于，再从作交BC于，…，则__________；___________。

18．如图2，将三角形纸片ABC沿EF折叠可得图3（其中EF∥BC），已知图3的面积与原三角形的面积之比为3：4，且阴影部分的面积为8平方厘米，则原三角形面积为________平方厘米。

19．如图4，△ABC中，BC：AC=3：5，四边形BDEC和ACFG均为正方形，已知△ABC与正方形BDEC的面积比是3：5，那么△CEF与整个图形的面积比等于__________。

20．如果正整数有以下性质：的八分之一是平方数，的九分之一是立方数，它的二十五分之一是五次方数，那么就称为“希望数”，则最小的希望数是_________。

三、解答题：（要求：写出推算过程）
21．图5是一个长为400米的环形跑道，其中A、B为跑道对称轴上的两点，且A、B之间有一条50米的直线通道，甲、乙两人同时从A点处出发，甲按逆时针方向以速度沿跑道跑步，当跑到B点处时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度沿跑道跑步。当跑到B点处时沿直线通道跑回到A点处，假设两人跑步时间足够长。求：
（1）如果，那么甲跑了多少路程后，两人首次在A点处相遇？
（2）如果，那么乙跑了多少路程后，两人首次在B点处相遇？
乙

22．（1）如果是小于20的质数，且可化为一个循环小数，那么的取值有哪几个？
（2）如果是小于20的合数，且可化为一个循环小数，那么的取值有哪几个？

23．如图6，正三角形ABC的边长为，D是BC的中点，P是AC边上的动点，连结PB和PD得到△PBD。求：
（1）当点P运动到AC的中点时，△PBD的周长；
（2）△PBD的周长的最小值。

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