数学解题真经(十)化归思想---综合性原则.doc

化归思想▬▬▬▬综合性原则---杨飞
在加工处理信息的过程中，利用个人的认知经验对问题的某项信息进行挖掘或对多项信息进行综合加工，使信息得到优化、更新和拓展，这种处理问题信息的原则，我们称为综合性原则.
综合性原则在加工处理信息的过程中，主要表现为挖掘更新式综合和桥式综合.
例1 已知（为锐角），求证：.
该问题的信息有：①（一个关于与的关系式）；②为锐角；③求证：（一个关于与的关系式）.
对信息①②进行挖掘综合；
1．形变化归信息①：

再与信息②进行综合加工：由.
（1）
2．形变化归信息①：
再与信息②综合：由， （2）
3．形变化归信息①：

（3）
4．由信息①②直接综合：由
（4）
对信息③进行挖掘综合：由
（5）
通过对信息①②③进行综合加工处理后，我们得到许多新信息，再将这些新信息综合加工，由（1）、（5）结合或（2）、（5）结合或（3）、（4）结合都能很快找到解题方案。其实，这种挖掘更新式综合，并不是对信息的简单繁殖，每一次挖掘，都是认知结构与信息相互作用的结果。大脑在挖掘信息信息的同时，又在对新信息作进行有效组织、编排和链接。
例2 在数列{}中，已知，当时，，
求证： .
通过我们的熟悉结构，很容易想到数学归纳法.
证明 ⒈ 当、2时，命题显然成立.
2．假设当时，成立，那么当时，
。 ①
应当如何运用归纳假设来证明成立呢？综合归纳假设与①式两项信息可知，应当通过的范围来确定. 于是再回想我们的熟练结构，自然会想到：①式可以看作自变量的一个函数───
，只要这个函数的值域是集合的一个子集即可.
如何求的值域呢？这又离不开我们的认知结构───求值域的方法.
下面我们利用的单调性来求其值域.
在上递增，（这是中学熟知的结论）

所以当时命题成立.
由1、2可知，原命题成立.
此题证明的关键在于：将运用归纳假设证明“当时命题成立”转化为“求函数在上的值域问题”，又由“函数的值域问题”联想到“函数的单调性”。 由此，我们可以清楚地看到：“判定在上单调性”对“求函数的值域”起着牵线的作用，而“求函数的值域”对“证明不等式”也起着搭桥的作用。 可谓桥连桥，思路通，越障碍，笑成功。我们称此为桥式综合。