中山市高三级2012—2013学年度第一学期期末统一考试.doc

中山市高三级2012—2013学年度第一学期期末统一考试
数学试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上.
3、不可以使用计算器.
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为 ( )
A． B．
C． D．
2．等差数列的前n项和为,若，则的值是( )
A．130 B．65 C．70 D．75
3．“”是 “”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若△的三个内角满足，则△（ ）
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
5．直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（ ）
A．n 5 B．n 6 C．n 7 D．n 8
8．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形的面积不改变；
③棱始终与水面平行；
④当时，是定值.
其中所有正确的命题的序号是（ ）
A．①②③ B．①③ C．②④ D．①③④

第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)
9．在二项式的展开式中，含的项的系数是__________
10．曲线、直线与轴所围成的图形面积为_________
11．已知函数的导数处取得极大值，则的取值范围为__________
12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于
13．已知直线与圆相交于两点，且 则的值是
14．如下图，对大于或等于2的自然数的次幂进行如下方式的“分裂”：

仿此，的“分裂”中最大的数是 ； 的“分裂”中最大的数是 ；
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

x
15．（本小题满分12分）函数的部分图象如下图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点，为最高点，且三角形的面积为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若，求的值．

16．（本小题满分12分）
已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n项的和为，且 ().
（1） 求数列，的通项公式；
（2） 记,求证：.

17．（本小题满分14分） 如图，三棱柱中，平面,、分别为、的中点，点在棱上，且.
（Ⅰ）求证：平面;
（Ⅱ）在棱上是否存在一个点，使得平面将
三棱柱分割成的两部分体积之比为115，若存在，
指出点的位置；若不存在，说明理由.
18．（本小题满分14分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
月份
1
2
3
4
5
（万盒）
4
4
5
6
6
（Ⅰ）该同学为了求出关于的线性回归方程，根据表中数据已经正确计算出，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；
（Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为，求的分布列和数学期望．
19．(本小题满分14分) 已知函数，其中实数是常数．
（Ⅰ）已知，，求事件：“”发生的概率；
（Ⅱ）若是上的奇函数，是在区间上的最小值，求当时的解析式；
（Ⅲ）记的导函数为，则当时，对任意，总存在使得，求实数的取值范围．

20．(本小题满分14分) 已知函数，.
（Ⅰ）若函数在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数的图象在处的切线的斜率为，且
，已知，求证：；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由.

高三数学（理科） 第5页（共4页）

中山市高三级2012—2013学年度第一学期期末统一考试
数学试卷（理科）答案
一、选择题

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
C
B
D
B
D

二、填空题
9．160； 10．； 11．； 12．； 13．；
14．11（本空2分）；（为奇数）的“分拆”的最大数是，所以（本空3分，写成“”或“”都给3分）
三、解答题
15．（本小题满分12分）
解：（I）∵， ∴周期 ……….2分
由，得， ……………………………………3分
∵，∴，
∴． …………………………………………….6分
（Ⅱ）由，得，
∵，
∴，
∴，
∴
． …………………….12分

16．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵是方程的两根，且数列的公差，
∴，公差
∴ ( ) ………………4分
又当n=1时，有b1=S1=1－
当
∴数列{bn}是等比数列，
∴ ( ) …………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 …………10分
∴
∴ …………………………12分

17．（本小题满分14分）
（I）证明：取的中点M，为的中点，
又为的中点，
在三棱柱中，分别为的中点，
,
为平行四边形，

平面，平面
平面 …………………….7分
（II）设上存在一点,使得平面EFG将三棱柱分割成两
部分的体积之比为1︰15，
则

， ，
所以符合要求的点不存在 ……………………….14分

18．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ），
因线性回归方程过点，
∴，
∴6月份的生产甲胶囊的产量数： …………….6分

（Ⅱ）

…………………….10分

其分布列为

0
1
2
3

…………………….14分

19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当时，等可能发生的基本事件共有9个：

其中事件： “”，包含6个基本事件：

故． 即事件“”发生的概率 …………………….4分
（Ⅱ）是上的奇函数，得（5分）
∴ ,
① 当时，因为，所以，在区间上单调递减，从而；
② 当时，因为，所以，在区间上单调递增，从而,
综上，知 …………………….9分
（Ⅲ）当时，
当
，即
又，
而，
对任意，总存在使得

且，解得 .…………………….14分
20．(本小题满分14分)
解（Ⅰ），
，
.
要使函数在其定义域内为单调函数，则在定义域内，
① 当时，在定义域内恒成立，
此时函数在其定义内为单调递减函数，满足题意；
②当时，要使恒成立，则，解得；此时函数在其定义内为单调递增函数，满足题意；
③ 当时，恒成立；此时函数在其定义内为单调递减函数，满足题意；
综上所述，实数的取值范围是； …………………….4分
（注: 本问也可采用“分离变量”的方法，酌情给分）
（Ⅱ）由题意知，可得，解得，所以
于是，下面用数学归纳法证明成立，数学归纳法证明如下：
（i）当时，，不等式成立；
（ii）假设当时，不等式成立，即成立，
则当时，，
所以当时，不等式也成立，
由（i）（ii）知时都有成立 . …………………….8分
（Ⅲ） 由（Ⅱ）得
，（）
于是， （）成立，
所以，，成立
累乘可得：，则成立，（）
所以.
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