求不定积分的椒凹记尚阕軂.doc

求不定积分的方法及技巧小汇总~

1. 利用基本公式。（这就不多说了~）
2. 第一类换元法。（凑微分）
设f(μ)具有原函数F(μ)。则

其中可微。
用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：
例1：
【解】
例2：
【解】

3. 第二类换元法：
设是单调、可导的函数，并且具有原函数，则有换元公式

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：

4. 分部积分法.
公式：
分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取时，通常基于以下两点考虑：
（1） 降低多项式部分的系数
（2） 简化被积函数的类型
举两个例子吧~！
例3：
【解】观察被积函数，选取变换,则

例4：
【解】

上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。
有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。
在中，的选取有下面简单的规律：

将以上规律化成一个图就是：

（a^x
arcsinx）
（lnx
Pm(x)
sinx)
ν
μ

但是，当时，是无法求解的。
对于（3）情况，有两个通用公式：

（分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中，常可以看到分部积分）

5. 几种特殊类型函数的积分。
（1） 有理函数的积分
有理函数先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现时，记得用递推公式：）
例5：
【解】

故不定积分求得。

（2）三角函数有理式的积分
万能公式：
的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。
对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成。再用待定系数 来做。（注：没举例题并不代表不重要~）

（3） 简单无理函数的积分
一般用第二类换元法中的那些变换形式。
像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现时，可令；同时出现时，可令；同时出现时，可令x=sint；同时出现时，可令x=cost等等。