全国2009年1月自考线性代数(经管类)试题及答案.doc

09年1月线性代数（经管类）试题答案
全国2009年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案
课程代码：04184
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．线性方程组的解为（　A　　）
A． B．
C． D．
．
2．设矩阵，则矩阵的伴随矩阵（　D　　）
A． B． C． D．
3．设为矩阵，若秩（）=4，则秩（）为（　C　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．设分别为和矩阵，向量组（I）是由的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由的列向量构成的向量组，则必有（　C　　）
A．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性无关 B．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性相关
C．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性无关 D．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性相关
（I）是（Ⅱ）的部分组，整体无关部分无关．
5．设为5阶方阵，若秩（）=3，则齐次线性方程组的基础解系中包含的解向量的个数是（　A　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
未知量个数，的秩，基础解系包含个解向量．
6．设矩阵的秩为，且是齐次线性方程组的两个不同的解，则的通解为（　　　）
A．， B．， C．， D．，
的基础解系包含1个解向量．
是不同的解，是非零解，可以作为基础解系，通解为，．
7．对非齐次线性方程组，设秩（）=r，则（　　　）
A．r=m时，方程组有解 B．r=n时，方程组有唯一解
C．m=n时，方程组有唯一解 D．r<n时，方程组有无穷多解
r=m时，，有解 ．
8．设矩阵，则的线性无关的特征向量的个数是（　C　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
特征值为，，．
对于，，基础解系含1个解向量；
对于，，基础解系含1个解向量；
对于，，基础解系含1个解向量．
9．设向量，则下列向量是单位向量的是（　B　　）
A． B． C． D．
，．
10．二次型的规范形是（　D　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11．3阶行列式__1__．
．
12．设，，则．
13．设为3阶方阵，若，则__-54__．
．
14．已知向量，，如果，则．
．
15．设为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组的解为．
，只有零解．
16．设非齐次线性方程组的增广矩阵为，则该方程组的通解为．
，，通解为．
17．已知3阶方阵的特征值为，则__-1__．
．
18．已知向量与向量正交，则__2__．
，，．
19．二次型的正惯性指数为__3__．
20．若为正定二次型，则的取值应满足．
，；，

，，，．
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算行列式．
解：．
22．设，，又，求矩阵．
解：
，，
．
23．设矩阵，，求矩阵的秩．
解：，可逆，而的秩为3，所以的秩为3．
24．求向量组，，的秩．
解：，的秩为2．
25．求齐次线性方程组的一个基础解系．
解：，
，基础解系为，．
26．设矩阵，求可逆矩阵，使为对角矩阵．
解：A的特征多项式为

，
特征值为，．
对于，解齐次方程组：
，，取，．
对于，解齐次方程组：
，，取．
令，则是可逆矩阵，使．
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．设向量组线性无关，，，，证明：向量组线性无关．
证：设，即
，
，
因为线性无关，必有，
，
方程组只有零解：，所以线性无关．
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