经济数学—线性规划教案.doc

经济数学教案
第一讲 线性规划问题的提出及其数学模型
教学目的：了解线性规划就是研究哪一类实际问题的，掌握建立数学模型的方法.
教学重点：利用线性规划的理论和方法解决生产实际和自然科学中的具体问题的两个步骤.
教学难点：根据实际问题建立数学模型.
内容提要：
1. 生产计划问题：例1.
2. 营养配餐问题：例2.
3. 运输问题：例3.
4. 合理下料问题：例4.
5. 项目投资问题：例5.
6. 线性规划问题的数学模型的共同特征：
1．每一个问题都用一组变量表示某一种方案．其中叫做决策变量.
2．存在一定的限制条件，称之为约束条件，这些约束条件可用一组决策变量的线性等式或线性不等式来表示．
3．都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称之为目标函数）来表示，按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化．
7. 线性规划问题的标准形式：

8. 线性规划问题标准形式的缩写形式：
9. 线性规划模型的标准化及举例：
1．将极小化目标函数转化为极大化目标函数．
2．把不等式约束转化为等式约束．
3．若决策变量为无约束，可令，其中≥0，≥0.
4．若决策变量≤0，只须令=即可.
例6.
教学环节时间分配：
讲课：80分钟
练习：10分钟.P63.1.
提问：无
作业：P63.2
经济数学教案
第二讲 线性规划问题的解及其性质
教学目的：掌握线性规划问题解的概念，了解凸性的几个基本概念.
教学重点：基可解的概念与确定.
教学难点：基可解的概念与确定.
内容提要：
1. 线性规划问题解的概念：
（1）．可行解：满足线性规划约束条件的解称为线性规划问题的可行解，而所有可行解的集合称为可行域．
（2）．最优解：使模型中目标函数式成立的可行解称为线性规划问题的最优解．
（3）．基底：设为约束方程组的阶系数矩阵，其秩为，则中任意个线性无关的列向量构成阶子矩阵称为线性规划问题的一个基底（基矩阵或简称为一个基），一般记为．
组成基的个列向量称为基向量，其余个列向量称为非基向量；与个基向量相对应的个变量被称为基变量，其余个变量则被称为非基变量．显然，基变量随着基的变化而改变，当基被确定之后，基变量和非基变量也随之确定了．
（4）．基本解：令约束条件中非基变量等于零，对基变量求解所得到的解称之为基本解．
（5）．基本可行解：满足非负条件的基本解称之为基本可行解，简称基可解；对应于基可解的基，称之为可行基．
例1.
2. 凸性的几个基本概念：
定义3.2.1　设为维欧氏空间中的一个集合，如果对于任意，有，则称集合为凸集．
定义3.2.2 设．如果不能用中不同的两个点和表示为，则称为的一个极点．
定义3.2.3 设是维欧氏空间中的个点，若存在，且，，使则称是的凸组合.
性质3.2.1—3.2.5
教学环节时间分配：
讲课：70分钟
练习：10分钟
P63.7.
提问：10分钟
P63.1
作业：P63.7.
经济数学教案
第三讲 单纯形法
教学目的：掌握单纯形法的基本思想和计算过程.
教学重点：单纯形法的计算过程.
教学难点：单纯形法的计算过程.
内容提要：
1. 单纯形法的基本思想：
根据线性规划的解的性质，在可行域中找到一个基本可行解作初始解；并检验此解是否是最优解，若是最优解可结束计算，否则就转到另一个基本可行解，并使目标函数值得到改进；然后对新解进行检验，以决定是否需要继续进行转换，一直到求得最优解为止．
2. 用例题介绍单纯形法的计算过程：
求解线性规划模型：

第一步：将上述不等式改写成等式；
第二步：建立初始单纯形表；
第三步：进行迭代得新的单纯形表；
第四步：继续迭代，换入，换出；
第五步：由于，按如上方法继续进行换入换出，继续迭代.
3. 单纯形法的计算步骤：
（1）．建立初始单纯形表
（2）．检验所得的基本可行解是否为最优解：若所有的≤0，则已获得最优解，停止计算，否则，转入下一步．
（3）．基变换：确定所对应的非基变量为换入变量（变为基变量）；确定所对应的基变量为换出变量.
（4）．进行迭代得新的单纯形表.
教学环节时间分配：
讲课：75分钟
练习：10分钟
P64.8.（1）
提问：5分钟
P63.7.
作业：P64.8
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第四讲 大M法与两阶段法
教学目的：熟练掌握大M法和两阶段法的计算过程及应用范围.
教学重点：大M法和两阶段法的计算过程.
教学难点：大M法和两阶段法的计算过程.
内容提要：
1. 引入人工变量的目的及方法：
在模型中，系数矩阵中没有一个单位矩阵为基，由此可见该约束方程没有一个明显的初始基本可行解，为了迅速地找到一个初始基本可行解，就必须使方程组的系数矩阵中存在一个三阶单位矩阵．为此，我们在模型某些约束条件的左边，人为地分别加上非负变量为引入的人工变量.
例1.
2. 大M法：
根据所给定的线性规划问题，列出其标准型，然后考察标准型的系数矩阵是否包含一个单位子矩阵，即方程是否有一个明显的初始基本可行解，若没有，可把人工变量引进到目标函数中去，并取人工变量的价值系数为-M（在最小化问题中取M），这里M是一个很大的正数，通常称M为惩罚因子. 对引入不为零的人工变量的一种惩罚，由于人工变量对目标函数有很大的负面影响，单纯形方法的寻优机制会自动将人工变量驱逐出基外，从而找到原问题的一个基本可行解.
例2.
3. 两阶段法：
两阶段法是处理人工变量的另一种方法，顾名思义，这种方法是将加入人工变量后的线性规划问题分两个阶段来解.
（1）．第一阶段
根据所给定问题的标准型构造出辅助问题：
目标函数是极小化，取人工变量的价值系数为1，其他变量的系数均为0，然后用单纯形法求辅助问题的最优解.
（2）．第二阶段
把作为原问题的初始基本可行解，对原问题的目标函数进行优化，即在改变目标函数后，第一阶段的最终表格转变成第二阶段的初始表格，继续运用单纯形法以寻求最优解.
4. 两阶段法与大M法的区别：
两阶段法与大M法不同的是，第一阶段的辅助问题只能为原问题提供初始基本可行解，而不能直接得到原问题的最优解，事实上，当辅助问题最小值为零时，表明所有的人工变量均从基变量中退出，原问题已获得基本可行解，若的最小值不等于0，表明原问题无可行解．
教学环节时间分配：
讲课：70分钟
练习：10分钟
P64.5.（1）
提问：10分钟
P63.8.（2）
作业：P64.5
经济数学教案
第五讲 单纯形法与人工变量法的巩固与深入
教学目的：熟练单纯形法和人工变量法的迭代过程，了解用矩阵法表示的单纯形法.
教学重点：熟练单纯形法迭代过程.
教学难点：矩阵法表示的单纯形法.
内容提要：
1. 人工变量法举例：

2. 单纯形表中未知数的求法：
举例：下表为某线性规划问题用单纯形法迭代至某一步的表，其中目标函数为，约束条件为≤，表中，，为松驰变量，表中解代入目标函数得=14．
表3-17

0
0
0
28
1
2

2

3
0
-14/3
0
1
1
0

5
6

2
0
5/2
0
28

0
0

1
0
0

0
0
-1

求：（1）的值．
（2）表中解是否为最优解．
教学环节时间分配：
讲课：60分钟
练习：30分钟
P65.10.P66.13
提问： 无
作业：P66.13
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第六讲 线性规划的对偶问题
教学目的：了解线性规划的对偶问题可以解决什么样的实际问题，掌握建立数学模型的方法.
教学重点：对偶问题的数学模型的建立，各类的线性规划问题与对偶问题的相互转化.
教学难点：各类的线性规划问题与对偶问题的相互转化.
内容提要：
1. 对偶问题举例：
例1、例2：

2. 对称型对偶关系的一般形式：
原始问题：，
其对偶问题为：
3. 非对称型对偶关系：
首先把非对称型问题化为对称型问题，问题就转换成对称型后，可写出对偶问题.
例3　写出下列线性规划的对偶问题 例4、5
教学环节时间分配：
讲课：70分钟
练习：10分钟
P90.5.（2）
提问：10分钟，P90.5.（1）
作业：P90.5
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第七讲 对偶单纯形法
教学目的：了解对偶关系的一些基本性质，熟练掌握对偶单纯形法的计算过程.
教学重点：对偶单纯形法的计算过程.
教学难点：对偶单纯形法的计算过程.
内容提要：
1. 对偶关系的一些基本性质：
（1）．对称性：对偶问题的对偶是原始问题．
（2）．弱对偶性：若为原始问题的一个可行解，为对偶问题的一个可行解，则有：
（3）．最优性：若是原始问题的可行解，对偶问题的可行解，且则和分别为原始问题与对偶问题的最优解．
（4）．无界性：若线性规划原始问题的目标函数无上界，则对偶问题无可行解；若对偶问题的目标函数无下界，则原始问题无可行解．
（5）．对偶定理：若原始问题和对偶问题之一有最优解，则另一个也有最优解，并且目标函数值相等．
2. 对偶单纯形法与单纯形法的区别：
在对偶单纯形法计算中，我们要使所有变量都逐渐成为非负（可行），其计算步骤和原来的单纯形法相反．单纯形法是先从非基变量中选择进基变量，然后在基变量中选择离基变量；而对偶单纯形法是先从基变量中确定离基变量，然后在非基变量中选择进基变量．
3. 对偶单纯形法的计算步骤与举例：
（1）．根据标准形式，列出初始表．
（2）．在所有取值为负的基变量中，选绝对值最大者对应的变量为离基变量（设为）；
（3）．确定进基变量．计算选择对应列的非基变量为进基变量；
（4）．以为主元，在单纯形表中进行迭代运算，即所谓的Gauss-Jordan消去法，得到新的单纯形表．
（5）．重复1—4步，直到所有值均为正（满足可行性），即得到最优解．
例1.例2
教学环节时间分配：
讲课：70分钟
练习：10分钟
P91.6.（1）
提问：10分钟
P90.5.（3）
作业：P91.6
经济数学教案
第八讲 对偶问题的经济意义与灵敏度分析初步
教学目的：明确影子价格的经济意义，掌握单纯形法计算的矩阵表示.
教学重点：影子价格的经济意义，单纯形法计算的矩阵表示形式.
教学难点：影子价格的经济意义，单纯形法计算的矩阵表示形式.
内容提要：
1. 影子价格的定义经济意义：
当某种资源增加一定数量时，也能够使总收益增加相应的数量，这种增加某种资源单位数量，相应增加的总收益量通常称作资源的边际价值，也就是我们后面所提到的影子价格．
2. 影子价格的经济意义：
影子价格是以线性规划为基础，反映资源得到配置时的对偶变量的最优解．影子价格()的经济含义是某种资源()增加一个单位数量而使总收益()增加的数量，即局部或个体的产出增量所获得的整体经济效果．利用影子价格，可以说明生产过程中资源的价值，能够及时地反映资源的短缺程度及供求矛盾．当资源没有充分利用时（即原始问题的最优解中，此项资源所对应的松驰变量不为零），则该项资源的影子价格为零．
影子价格实际上是某个特定约束条件右端常数项每增加一个单位的边际值．所以说，影子价格是资源的边际价格．
例1： 说明影子价格在企业管理中的应用．
2. 单纯形法计算的矩阵表示：
初始表与最优表中关系如下：

非基变量
基变量

基
解

0

基变量
非基变量

基
解

0

教学环节时间分配：
讲课：75分钟
练习：5分钟
P90.2.3
提问：10分钟
P91.6
作业：P90.3
经济数学教案
第九讲 灵敏度分析
教学目的：熟练掌握各参数的灵敏度分析.
教学重点：各参数的灵敏度分析.
教学难点：各参数的灵敏度分析.
内容提要：
1. 目标函数中的变化：
的变化仅仅影响到检验数的变化，因此计算非基变量的检验数：若，最优解保持不变；若，用单纯形法继续迭代求出最优解．
2. 约束条件中的变化：
的变化反映在最终单纯形表上将引起最优解列数据的变化：若，用对偶单纯形法继续迭代；若，最优解保持不变．
3. 增加一个变量的变化：
设在目标函数中的系数为，在约束条件中的系数向量为．
首先计算：
然后计算增加变量的检验数：

若，则原最优解不变，只需将与直接写入单纯形表，则单纯形表中增加一列；若，则按单纯形法继续迭代以找出最优解．
4. 约束条件中的变化：
(1)若在最终单纯形表中为非基变量，则处理方法同3；
(2)若在最终单纯形表中为基变量，则将引起表中所有数据变化．其分析步骤为：
1°
2°
代入最终单纯形表中，将其作为进基变量，变化前的变量作为出基变量进行迭代．若此时出现原问题与对偶问题均为非可行解，需引进人工变量将原问题解转化为可行解，再用单纯形法求解．
5. 增加一个约束条件：
先将原问题最优解代入新增的约束条件，若满足，则原最优解不变；否则，将新增约束反映到单纯形表中，同时增加一个单位向量(该约束条件的松驰变量或人工变量)，再进一步分析．
例1.2
教学环节时间分配：
讲课：80分钟
练习：10分钟
P92.7
提问：无
作业：P92.9
经济数学教案
第十讲 最佳指派问题的线性规划模型
与标准指派问题的匈牙利法
教学目的：了解那些问题属于最佳指派问题，理解与掌握标准指派问题的匈牙利法.
教学重点：理解与掌握标准指派问题的匈牙利法.
教学难点：理解与掌握标准指派问题的匈牙利法.
内容提要：
1. 最佳指派问题的线性规划模型：
通过例1了解什么问题属于最佳指派问题，并给出指派问题的标准形式；当指派n个人去完成n项任务时，其数学模型如下：

2. 匈牙利法的基本原理：
（1）．指派问题最优解的性质
假设是指派问题的价值系数矩阵，现将它的某一行（或某一列）的各个元素都减去一个常数（可为正，也可为负），得到矩阵．那么以为价值系数矩阵的新的指派问题的最优解与原指派问题的最优解相同，但其最优值比原来减小．
（2）．关于矩阵中0元素的定理
系数矩阵中独立0元素的最多个数等于能覆盖所有0元素的最少直线数．
3. 结合例题给出匈牙利法的求解步骤：
第一步：变换价值系数矩阵，使各行各列都出现0元素.
1．将系数矩阵的每行都减去本行的最小元素；
2．将上步所得新的价值系数矩阵的每列都减去本列的最小元素．
第二步：进行试指派，以寻求最优解.
1．进行行检验；
2．进行列检验；
3．反复进行1、2直到下列三种情况之一；
4．对三种情况分别讨论.
第三步：作最少的直线覆盖当前所有0元素（包括标记上△和的）.
第四步：对上步所得矩阵进行变换，以增加其0元素．
教学环节时间分配：
讲课：80分钟
练习：10分钟，P109.3
提问：无
作业：P109.3
经济数学教案
第十一讲 非标准指派问题
教学目的：掌握非标准指派问题的标准化及其匈牙利法应用.
教学重点：非标准指派问题的标准化.
教学难点：非标准指派问题的标准化及其匈牙利法应用.
内容提要：
1. 目标函数为求极大值的问题：
当目标函数为：

时，记

得到一新矩阵．由最优解的性质知，以为价值系数矩阵的指派问题与以为价值系数矩阵的指派问题同时达到最优，且有相同的最优解．经过上述转换，即可将极大化问题变为极小化问题．当达到最大时，也就是达到最小，两者的最优值相差一个常数．
2. 价值系数矩阵中存在负元素：
若价值系数矩阵的第行（或第列）存在负元素，则第行（或第列）每个元素都减去该行的最小元素，即可使价值系数矩阵满足非负条件，然后可以用匈牙利法求解．
例1.
3. 价值系数矩阵不是方阵：
若记人员（或设备）数为，任务（或加工件）数为，所谓价值系数矩阵不是方阵，即，此时，需分情况讨论：
[1] 当时
(1)且项任务又都必须完成时：此时，必有某个（些）人完成一项以上的任务；
例2.
(2)若，但每人只能完成一项任务．此时一定有某个（些）任务没有人去完成；
例3.
另外，如果人数少于任务数，而某项任务又必须完成，则在增加虚拟人时，将虚拟人完成此项任务的系数设为，而虚拟人完成其他任务的系数设为0即可；如果某人就能力而言可完成某项任务，而由于某种原因不允许该人完成某项任务，则可将相应的系数改为即可．
[2] 当时
可参照的情况处理，一般是增加虚拟工作，使系数矩阵为方阵，然后用匈牙利法求解．
教学环节时间分配：
讲课：70分钟
练习：10分钟
P109.4.6
提问：10分钟
P109.3
作业：P110.5

经济数学教案
第十二讲 竞争型指派问题
教学目的：了解竞争型指派问题数学模型及其算法.
教学重点：竞争型指派问题的算法.
教学难点：竞争型指派问题的算法.
内容提要：
1. 当今引进竞争机制后的企业、部门及社会的要求下，产生了竞争型指派问题：
竞争型指派问题的数学模型为：

如果模型中且，则退化为标准指派问题．
由于竞争型指派问题中允许第人承担任务数为，所以按照的取值可将竞争型指派问题加以分类；
（1）．时称为自由竞争型指派问题；
（2）．且等号仅对个人成立时，称为半自由竞争型指派问题．
（3）．时，称为弱竞争型指派问题，此时若则退化为标准指派问题，事实上已无竞争可言．
其中的意义同标准指派问题所设，并规定此模型为标准化竞争型指派问题．
2. 竞争型指派问题的算法：
第一步：列出价值系数矩阵，如果 则在中加上一个零列，相应的任务数取作则化为标准化竞争型指派问题．
第二步：变换价值系数矩阵，使各行各列都出现0元素，本步同匈牙利法第二步．
第三步：进行试指派，以寻求最优解．
第四步：作最小数目的直线通过某些行和列使得所有0元素都被覆盖.特别注意，如果第行被划去，则所用的直线数目应记为，其它步骤与匈牙利法基本相同，只须将列改为行：
第五步：与匈牙利法相同．
教学环节时间分配：
讲课：70分钟
练习：10分钟
P110.7
提问：10分钟，P110.5.（1）
作业： P110.8
经济数学教案
第十三讲 单因素的优选方法
教学目的：明确优选法思想、步骤以及一维线性搜索的具体实现方式。
教学重点：优选法思想、步骤以及用思想构造具体优选方法。
教学难点：0.618的确定。
内容提要：
1. 优选法的发展史：
优选法又称搜索法，是最近多年来随着大工业和生产的发展而发展起来的一种应用数学方法．年代以来，日益发展的运筹学提出了很多通过建立数学模型，进行优选的方法．
2. 优选法的思想：
优选法是以数学原理为指导，用最可能少的试验次数，尽快找到生产和科学实验中最优方案的一种科学试验的方法．
3. 优选法的步骤：
一、要明确优选目标．要进行优选，就要搞清目标，也就是通过试验想达到什么目的．目标可以是一个，也可以几个同时考虑；目标可以是定量的也可以是定性的.
二、要确定影响目标的主要因素．
三、要根据问题的性质，确定主要因素的合理范围．正确地确定试验范围很重要．范围太大，必然会增加试验次数，影响试验效率．相反，范围太小，很可能把最优点漏掉.
四、选择适当的优选法，找出最佳方案．
4. 二分法的基本思想与步骤.
5. 0.618法的计算公式：
（大—小）+小
大+小—
6. 0.618的确定： 得方程 　
这是一个一元二次方程，根据一元二次求根公式
得到

7. 分数法：
（1） 分数法与0.618法的区别与联系；
（2） 分数法的特点与实现.
教学环节时间分配：
讲课：70分钟
练习：10分钟
P21.2
提问：10分钟
0.618的其他确定方法
作业：P21.3

经济数学教案
第十四讲 双因素问题的优选法与正交试验法
教学目的：两个主要的因素影响优选目标的双因素优选方法与正交试验法的初步介绍．
教学重点：坐标轮换法的思想、步骤.
教学难点：如何将一维线性搜索的各方法用到双因素优选上来.
内容提要：
1. 坐标轮换的实现与举例：
首先按相对的重要性进行因素排序，重要的放在前面，然后除了第一个因素外，第二个因素暂时固定，只对第一个因素进行优选，这时就可以按处理单因素问题的方法来进行试验了．选出最优点后，就把第一个因素固定在好点的水平上，再对第二个因素进行优选，如此一步一步地进行下去．
举例：例1、例2
2. 平行线法的实现与举例：
在实际问题中，经常会遇到由于设备或其它种种条件的限制而有一个因素不容易调整．把不易调整的一个因素，固定在某个位置，对易于调整的另一个因素进行优选，比较结果，得到最好点.
3. 以上两方法的区别与适用范围：
区别为划掉的范围不同，适用范围是单峰或单谷函数.
4. 正交试验法的初步介绍：
正交试验法是处理多因素的一种科学方法，它利用数理统计学观点，应用正交性原理，对多因素同时进行考察，用一套规格化正交表，合理安排试验．正交试验法具有试验结果重复性好、可靠性高、适用面宽、试验次数少、配置容易、分析简便等优点，从而得到广泛应用．
举例：例1.
（1） 全面试验：
当因素和水平数都不太大，且试验结果和因素之间的关系比较复杂时，全面试验常被推荐使用.
（2） 单因素试验轮换法：
这种方法主要是将一个多因素试验化为多个单因素试验．单因素轮换法一般也能达到一定的效果，但当因素间有交互作用时，这方法往往不能找到最佳组合．
教学环节时间分配：
讲课：70分钟
练习：10分钟
双因素优选方法练习：，

提问：10分钟
P21.3
作业：无

经济数学教案
第十五讲 正交试验法
教学目的：了解正交设计与结果分析；明确网络图的两种表示方式，熟练掌握网络图的绘制及与关系矩阵的关系.
教学重点：正交表与正交试验法的步骤，单代号网络图的绘制及其与关系矩阵之间的相互转换.
教学难点：正交设计的要求与正交原理，网络图的特点及绘制网络图的规则.
内容提要：
1．正交表：
正交表是安排试验，分析试验的一种简单而容易掌握的有力工具．它是根据数理统计原理归纳出来的一种合理安排试验的表格．所有正交表都具备以下两上特点，这正是“均匀分散性”与“整齐可比性”两个特点：
（1）每一列中因素不同水平出现次数相同．
（2）任意两列横行组成的不同水平的搭配，在方案中都出现了，并且出现次数相同．
2. 正交试验法的基本步骤与举例：
进行正交试验一般首先要明确试验目的，确定考核指标；其次要挑选参加试验的因素及其水平，制定因素水平表；第三是选择合适的正交表，确定具体的试验方案；第四是进行试验和结果分析；第五是根据分析结果，提出进一步试验的方案或选定满意的方案正式投产．
例2.
3. 双代号表示法与单代号表示法介绍及举例：
双代号表示法是将具体工作的名称写在箭杆上方，执行工作所需时间写在箭杆下方，箭头、箭尾均与结点相连，表示工作的开始和结束，结点用圆圈和里面的数字表示，数字表示结点的编号；单代号表示法是将工作名称与持续时间均写在节点内，用结点表示工作，箭线仅表示工作之间的前后顺序关系.如例1.
4. 前导后继关系：
与某一工作有关的具体工作，可以根据它们之间的相互关系，分为先导（紧前）工作，后继（紧后）工作．箭头指向本工作的工作为其先导工作，本工作的箭头指向的工作为其后继工作，一个工作的先导与后继可以不唯一.
5. 绘制网络图（举例）：
例2.
在绘制网络图时，应遵循以下规则：
（1）网络图只能且必须有一个总开始结点和总结束结点．
（2）网络图中不能有缺口和回路．
（3）必须正确表示工作之间的先导，后继关系．
（4）会使用平行工作和交叉工作.
教学环节时间分配：
讲课：70分钟
练习：10分钟
P38.4
提问：10分钟
P21.3
作业：
P38.4

经济数学教案
第十六讲 时间序列分析之移动平均法与指数平均法
教学目的：明确时间序列分析的目的，熟练掌握移动平均法与指数平均法的计算过程.
教学重点：移动平均法与指数平均法的计算过程.
教学难点：移动平均法、按比例加权的平均量法与指数平均法的数学模型的推导过程.
内容提要：
1. 时间序列分析简介：
所谓时间序列是指观察或记录到的一组按时间顺序排列起来的数字序列．这些数列中每一个观察值都被相等的时间间隔分开，且在时刻…，，…的值为…，　，…．
2. 移动平均法：
移动平均法分为“定区间平均量法”和“按比例加权平均量法” ．
（1）定区间平均量法：
设是预测前的实际数据组成的时间序列．如果过早的数据已失去意义，不能反映当前数据的规律，那么预测值.
例1
（2）按比例加权平均量法：
如果考虑到不同时期的数据对预测影响的程度不一，可采用“按比例加权的平均量法”，即预测值取 ，其中称为权，而且满足：
<< ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3. 指数平均法的数学模型推导过程：
指数平均法是利用前一时刻的数据进行预测的方法．其模型是 　　　　 　　
其中，称为平滑系数，≤≤．

当很大时，的各系数之和为
．
4. 指数平均法的数学模型中平滑系数K值的选取：
的大小要根据具体问题确定．若近期的数据对未来起着重要作用，取大一些的值．
在实际预测时，初始预测值可取历史平均值或取．如果取为初始值，初始预测值可取 或．
教学环节时间分配：
讲课：80分钟
练习：10分钟
提问：无
作业：P138.4
经济数学教案
第十七讲 自回归模型与自适应过滤法
教学目的：熟练掌握自回归模型及其推导过程，了解自适应过滤法的步骤.
教学重点：自回归模型及其推导过程.
教学难点：自回归模型推导过程与自适应过滤法的步骤.
内容提要：
1. 时间序列分析的自回归模型：
设是由实际观测值组成的时间序列．用以下关系建立的预测模型称为P阶自回归模型：
2. 自回归模型（P=1）的推导过程：
当时， ，令 　　　
两边分别对，求偏导，并令其等于，得到
整理后，上述方程组为 　　　　　
方程的解即是，的最小二乘估计值（）． 例1.2.3
3. 自适应过滤法的预测模型：
设为已知的由观测值组成的时间序列．建立以下预测模型
.
4. 自适应过滤法的计算步骤：
（）设为当前期，对时作预测．这样就要把最前面个观测值进行加权处理（一般权值初始值可取作），按照式计算第期的预测值：
．
（2）计算实际值和预测值之间的误差：．
（3）算出预测误差后，用如下的方程式调整权值 .
教学环节时间分配：
讲课：80分钟
练习：10分钟，P139.6
提问：无
经济数学教案
第十八讲 关系矩阵及网络图的时间参数与关键路线的确定
教学目的：熟练掌握网络图与关系矩阵的对应关系，明确四个网络参数的意义与作用，熟练掌握网络参数的计算.
教学重点：关系矩阵的建立与网络参数的计算公式.
教学难点：网络参数的计算过程.
内容提要：
1. 节点与关系矩阵：
例3.例4.
2. 最早开始时间和结束时间：

3. 局部时差和总时差：

4. 四个网络参数的意义：
局部时差表示可向后延期开始又不影响其诸后继活动的最早开始时间的最大限度．
若，( i可能由若干个)，即活动的最早结束时间等于它的某一个后继活动的最早开始时间，从而的延期结束将影响该活动的某一后继活动的最早开始时间，同时也表示该活动的这一后继活动也不能延期结束．
5. 关键路线和工期：
使的活动称为关键活动，由关键活动组成的路线称为关键路线．关键路线所持续的时间称为工期．
6. 举例：
例1.例2.
教学环节时间分配：
讲课：70分钟
练习：10分钟
P37.1.（1）.P38.2.（1）.3.（1）
提问：10分钟
P38.4
作业：P39.5
经济数学教案
第十九讲 应用二则
教学目的：熟练掌握横道图在合理利用资源（人力、物力、空间、时间）方面的应用．为了减少整个工程的费用，利用关键路线法找出减少工程间接费用的赶工方案．
教学重点：利用两个时差非零的活动来反复调整横道图；赶工方案制定时如何选取节点.
教学难点：利用两个时差非零的活动来反复调整横道图；赶工方案制定时如何选取节点.
内容提要：
1. 绘制横道图：
序号
时间
FF
TF
ES
EF
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
0
2
0
1
2

2
2
0
3
0
2
2
2

3
2
0
0
0
2
2
2

4
2
0
5
1
3

1
1

5
3
0
2
1
4

2
2
2

6
1
1
3
2
3

3
3*

7
2
4
4
2
4

2
2
2
2
*

8
2
0
0
2
4

3
3

9
2
5
5
3
5

2
2

2*
2
10
2
2
2
4
6

4
4
4*
4

11
4
0
0
4
8

2
2
2
2

12
2
0
0
8
10

4
4
调整前人力总计

6
7
11
9
8
6
2
2
4
4
调整后人力总计

6
7
6
8
4
4
6
6
6
6
2. 可调整的节点的特点：
局部时差不为零与总时差非零的活动.
3. 利用两个时差非零的活动来反复调整：
调整过程的依据是网络分析所得的时间参数，方法是来回反复调试．
4. 关键路线法：
某工程的间接费用昂贵，为了减少整个工程的费用，对每个活动进行审查，以找出减少工程间接费用的赶工方案．试确定使工程费用最少的最优方案．此类问题解法称为关键路线法（C P M），其基本思想是在关键路线上寻找最佳赶工方案．
教学环节时间分配：
讲课：70分钟
练习：10分钟
P39.6
提问：10分钟
P38.3.（2）
作业：
P39.6
经济数学教案
第二十讲 投入产出的基本表示与投入产出模型的基本公式
教学目的：了解各类型的投入产出表，掌握投入产出模型的基本公式.
教学重点：投入产出模型的基本公式.
教学难点：掌握投入产出模型的基本公式.
内容提要：
1. 投入产出模型的分类：
在按计量单位不同而分类为实物型投入产出模型与价值型投入产出模型；在按分析时期不同而分类为静态投入产出模型和动态投入产出模型；按包括范围分的模型中，有联合国的世界模型及多国、全国、地区、部门和企业的投入产出模型；在按具体用途分的投入产出模型中，有经济部门关系投入产出模型及收入分配、价格形成、能源消耗、环境质量等方面问题的投入产出模型.
2. 实物型投入产出表：
总数相整张表从横行看，反映了各类产品和劳动的分配使用情况. 产品的分配去向为两个部分，一部分作为中间产品供其他产品在生产中使用（消耗），另一部分作为用于积累、消费等目的的最终产品. 两部分之和便是一定时期内各类产品的生产总量，即：
总产品=中间产品+最终产品 .
3. 价值型投入产出表：
按行建立的平衡关系与实物型投入产出表所建立的平衡关系一样，即：
总产品=中间产品+最终产品；按列建立的平衡关系说明各部门产品的价值形成过程，反映物化劳动和活劳动的消耗情况，即：总产值=生产资料转移价值+新创造价值；
此外，最终产品总值与新创造价值总数加折旧等，即第Ⅱ块与第Ⅲ块的总量相等.
4. 投入产出表举例：例1.
5. 直接消耗系数：
所谓直接消耗系数，是生产单位产品（或产值）j所直接消耗的产品i的数量：
； 公式，它通过矩阵揭示了总产品与最终产品之间的数量依存关系．
6. 完全消耗系数：
完全消耗系数的实际计算公式是通过矩阵的逆矩阵表示的，具体形式为：
称为完全消耗系数矩阵.
7. 其他几个基本公式：
教学环节时间分配：
讲课：80分钟
练习：10分钟
P126.1
提问：无
作业：无
经济数学教案
第二十一讲 投入产出模型的应用与价格
教学目的：掌握利用投入产出模型进行经济预测.
教学重点：投入产出表中价格的变化.
教学难点：投入产出表中价格的变化.
内容提要：
1. 分析积累与消费的比例关系：

积 累
消 费
绝对额
（亿元）
各部门占总积累（）
占本部门积累消费额（）
绝对额
（亿元）
各部门占总积累（）
占本部门积累消费额（）
农 业
能 源
重工业
轻工业
建筑业
其 他
190
10
480
60
300
40
17.59
0.93
44.44
5.56
27.78
3.70
15.97
14.29
70.59
5.88
75.00
16.67
1000
60
200
960
100
200
39.68
2.38
7.94
38.09
3.97
7.94
84.03
85.71
29.41
94.12
25.00
83.33
合 计
1080
100.00
30.00
2520
100.00
70.00
2. 确定协调合理的计划及生产任务：
有了各部门的最终产品计划量，根据表中的完全消费系数，就可以用模型计算出计划期各部门总产量．
3. 调整生产计划：
利用投入产出模型很容易回答这个问题．事实上，从模型容易得出以增量形式表示的相应模型．

4. 价格：
讨论了投入产出表的第Ⅰ、Ⅱ象限之间的关系，没有涉及价格问题，投入产出表的第Ⅲ象限包含有的部分易受“价格”因素的影响，从而引起生产部门产品价格的变化．

所以
教学环节时间分配：
讲课：80分钟
练习：10分钟
P126.2
提问：无
作业：无
经济数学教案
第二十二讲 常用数学软件的使用——Matlab软件的使用
教学目的：熟悉Matlab软件的基本操作知识，