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难点13 电阻测量设计与误差分析
实验能力是学生终身从事学习、研究的必备能力之一，高考考试说明对此作出过明确要求.随着高考命题思想的转变，考题愈加突出对考生实验能力，尤其是实验设计创新能力的考查.
●难点磁场
图13-1
1.（★★★★）某电压表的内阻在20 kΩ～50　kΩ之间，现要测量其内阻，实验室提供下列可选用的器材：待测电压表V（量程3 V）、电流表A1（量程200 μA）、电流表A2（量程5 mA）、电流表A3（量程0.6 A），滑动变阻器R（最大阻值1 kΩ）、电源E（电动势4 V），电键K.
（1）所提供的电流表中，应选用_______（填写字母代号）.
（2）为了尽量减小误差，要求测量多组数据，试在图13-1中画出符合要求的实验电路图（其中电源和电键及其连接已画出）.
2.（★★★★★）（2001全国）图13-2（a）中E为电源，其电动势为E，R1为滑线变阻器，R2为电阻箱，A为电流表.用此电路经以下步骤可近似测得A的内阻RA；（1）闭合K1，断开K2，调节R1，使电流表读数等于其量程I0；（2）保持R1不变，闭合K2，调节R2，使电流表读数等于，然后读出R2的值，取RA≈R2.
（1）按图13-2（a）所示电路在图（b）所给出的实物中画出连接导线.

图13—2
（2）真实值与测量值之差除以真实值叫做测量结果的相对误差，即.试导出它与电源电动势E、电流表量程I0及电流表内阻RA的关系式.
（3）若I0＝10 mA，真实值RA约为30 Ω，要想使测量结果的相对误差不大于5%，电源电动势最小应为多少伏?
3.（★★★★★）（1999年全国）图13-3中，图（a）为测量电阻的电路，Rx为待测电阻，R的阻值已知.R′为保护电阻，阻值未知.电源E的电动势未知.K1、K2均为单刀双掷开关.A为电流表，其内阻不计.

图13—3
（1）按图（a）所示的电路，在图（b）的实物图上连线.
（2）测量Rｘ的步骤为：将K2向d闭合，K1向________闭合，记下电流表读数I1.
再将K2向c闭合，K1向________闭合，记电流表读数I2.
计算Rｘ的公式是Rｘ＝________
●案例探究
［例1］（★★★★★）一电阻额定功率为0.01 W，阻值不详.用欧姆表粗测其阻值约为40 kΩ.现有下列仪表元件，试设计适当的电路，选择合适的元件，较精确地测定其阻值.
①电流表，量程0～300 μA，内阻150 Ω；
②电流表，量程0～1000 μA，内阻45 Ω；
③电压表，量程0～3 V，内阻6 kΩ；
④电压表，量程0～15 V，内阻30 kΩ；
⑤电压表，量程0～50 V，内阻100 kΩ；
⑥干电池两节，每节电动势为1.5 V；
⑦直流稳压电源，输出电压6 V，额定电流3 A；
⑧直流电源，输出电压24 V，额定电流0.5 A；
⑨直流电源，输出电压100 V，额定电流0.1 A；
⑩滑动变阻器，0～50 Ω，3 W；
滑动变阻器，0～2 kΩ，1 W；
电键一只，连接导线足量.
命题意图：考查综合分析能力、推理能力及实验设计的创新能力，B级要求.
图13-4
错解分析：部分考生估算出通过Rx的电流Im=500 μA,据此而选用量程为0~1000 μA的电流表，而忽视了偶然误差的因素.
解题方法与技巧：由于现有器材中有电流表和电压表，故初步确定用伏安法测定此电阻的阻值.又因待测电阻为一大电阻，其估计阻值比现有电压表的内阻大或相近，故应该采用电流表内接法.由于现有滑动变阻器最大阻值比待测电阻小得多，因此，若用滑动变阻器调节待测电阻的电流和电压，只能采用分压接法，如图13-4（否则变阻器不能实现灵敏调节）.为了确定各仪表、元件的量程和规格，首先对待测电阻的额定电压和电流作出估算：最大电流为Im＝A＝5×10－4 A＝500μA；最大电压Um＝20 V.由于实验中的电流和电压可以小于而不能超过待测电阻的额定电流和额定电压，现有两个电流表内阻相近，由内阻所引起的系统误差相近，而量程0~1000 μA接入电路时，只能在指针半偏转以下读数，引起的偶然误差较大，故选用量程为0~300 μΑ的电流表.这样选用电流表后，待测电阻上的最大实际电压约为3×10－4×40×103 V＝12 V，故应选用量程为15 V的电压表，由于在图13-4所示的电路中，要实现变阻器在较大范围内灵敏调节，电源电压应比待测电阻的最大实际电压高，故电源应选输出电压为24 V一种（其额定电流也远大于电路中的最大实际电流，故可用）.
关于变阻器的选择，由于采用分压接法，全部电源电压加在变阻器上.若是把0~50 Ω的变阻器接入电路，其上的最小电流（对应于待测电路断开）约为24／50 A＝0.5 A，最小功率约为0.25×50 W＝12.5 W，远大于其额定功率；而0~2 kΩ的变阻器接入电路，其最大电流（对应于滑动键靠近图13-4中变阻器A端）约为并联电路总电流0.0136 A，小于其额定电流0.2024 A.故应选0~2 kΩ的变阻器.
［例2］（★★★★★）量程为3 V的电压表V（内阻约3 kΩ），现要求测出该电压表内阻的精确值.实验室中可提供的器材有：电阻箱R′（阻值范围0～9999.9 Ω），在本实验中，通过电阻箱的电流不会超过所允许的最大电流；滑动变阻器R（阻值范围0～1000 Ω，允许通过的最大电流为0.2 A）；电源E（E为5 V，内阻忽略不计）；电键K；导线若干.
（1）选用适当器材设计测量的电路，要求在虚线框内画出电路图并标上代号.

（2）叙述操作步骤.
命题意图：考查对电压表原理的理解能力、知识迁移运用能力及实验创新能力，B级要求.
错解分析：对电压表应用原理理解不深刻，缺乏知识应用的迁移能力，无法将灵活串联入电路，寻找不到设计思路.
解题方法与技巧：（1）如图13-5

图13—5
（2）①将所选器材按电路图连接好；②把R′调至最大，接通电路；③调节R′使电压表指针指在3.0 V处，记下此时电阻箱的阻值R1′；④增大R′的阻值，使指针指在1.5 V处，记下此时电阻箱的阻值R2′；⑤计算Rg＝R2′－2R1′.
●锦囊妙计
一、电阻的测量方法
课本上讲解了用伏安法、欧姆表测电阻，除此以外，还有半偏法测电阻、电桥法测电阻、等效法测电阻等等.
二、如何选择电学仪器和实验电路
在测电阻等许多电学实验中，都存在如何选择电学实验器材，如何选择测量电路、控制电路的问题.
正确地选择仪器和电路的问题，有一定的灵活性，解决时应掌握和遵循一些基本的原则，即“安全性”“精确性”“方便性”原则，兼顾“误差小”“仪器少”“耗电少”等各方面因素综合考虑，灵活运用.
1.实验仪器的选择
（1）根据不使电表受损和尽量减少误差的原则选择电表.
首先保证流过电流表的电流和加在电压表上的电压均不超过使用量程，然后合理选择量程，务必使指针有较大偏转（一般取满偏度的左右），以减少测读误差.（2）根据电路中可能出现的电流或电压范围需选择滑动变阻器，注意流过滑动变阻器的电流不超过它的额定值，对大阻值的变阻器，如果是滑动头稍有移动，使电流、电压有很大变化的，不宜采用.（3）应根据实验的基本要求来选择仪器，对于这种情况，只有熟悉实验原理，才能作出恰当的选择.总之，最优选择的原则是：①方法误差尽可能小.②间接测定值尽可能有较多的有效数字位数，直接测定值的测量使误差尽可能小，且不超过仪表的量程.③实现较大范围的灵敏调节.④在大功率装置（电路）中尽可能节省能量；在小功率电路里，在不超过用电器额定值的前提下，适当提高电流、电压值，以提高测试的准确度.
2.实验电路（电流表内外接法）的选择
测量未知电阻的原理是R＝，由于测量所需的电表实际上是非理想的，所以在测量未知电阻两端电压U和通过的电流I时，必然存在误差，即系统误差，要在实际测量中有效地减少这种由于电表测量所引起的系统误差，必须依照以下原则：（1）若＞，一般选电流表的内接法.如图13-6（a）所示.由于该电路中，电压表的读数U表示被测电阻Rｘ与电流表A串联后的总电压，电流表的读数I表示通过本身和Rｘ的电流，所以使用该电路所测电阻R测＝＝Rｘ＋RA，比真实值Rｘ大了RA，相对误差a＝（2）若＜，一般选电流表外接法.如图13-6（b）所示.由于该电路中电压表的读数U表示 Rｘ两端电压，电流表的读数I表示通过Rｘ与RV并联电路的总电流，所以使用该电流所测电阻R测＝也比真实值Rｘ略小些，相对误差a＝.

图13—6
3.控制电路的选择（见难点12.滑动变阻两种电路接法的选择）
三、处理实验数据
1.代数法
常见的代数法有：求平均值法和逐差法
2.列表法
在记录和处理数据时，把数据列成表格.数据列表可以简单明确地表示出相关物理量之间对应关系；便于检查和发现实验中的问题；有利于找出相关物理量之间满足的规律，等等.
3.作图法
作图法的优点是可以形象、直观地反映出相关物理量之间的变化规律，找出相关物理量之间的变化规律所对应的函数关系；可以根据图线直接得出实验结果.还可以通过作图发现实验中的问题.
作图时，应该注意以下几点：
a.必须使用坐标纸，并保证测量时的准确数字，在图上也是准确的.
b.图上要标明图名、坐标轴所代表的物理量及其单位、各分度对应的有效数字.
c.尽量使图象充满图纸.
d.各数据点要标明.
e.连线时，要尽量使数据点均匀分布在图线的两侧.
f.明确斜率、截距的物理意义.
必要时，可通过更改坐标轴的方式，改曲线为直线.
●歼灭难点训练
图13-7
1.（★★★）图13-7所示为用伏安法测电阻的部分电路图.因为不知道待测电阻Rｘ的大概值，所以不能确定线路的接法.为了减小误差，可在电路接好以后将电压表的一个接线端K分别与M、N接触，观察电压表和电流表的读数哪一个有明显变化.下列关于观察到的现象及应选用的接法的叙述中，正确的是
A.若电流表读数有明显变化，K应接在M点
B.若电流表读数有明显变化，K应接在N点
C.若电压表读数有明显变化，K应接在M点
D.若电压表读数有明显变化，K应接在N点
2.（★★★★）某学生欲测一未知电阻的阻值，可供选择的器材有
电流表A1量程0～10 mA
电流表A2量程0～0.6 A
电压表V1量程0～3 V
电压表V2量程0～15 V
图13-8
滑动变阻器一只，电源4.5 V，电键2个，如图13-8，当电键K2连a时，两电表的指针偏转角度都在满偏的4/5处；若将K2接b时，其中一个电表的指针偏角几乎不变，另一个电表的指针偏转到满偏的3/4处.该学生所选用的电压表的量程为________，所用的电流表的量程为________，该电阻的阻值为________.
图13-9
3.（★★★★）在用伏安法测电阻的实验中，所用电压表的内阻约为20 kΩ，电流表的内阻约为10 Ω，选择能够尽量减少误差的电路图接线进行实验，读得的各组数据用实心圆点标于坐标图上，如图13-9所示：
（1）根据各点表示的数据描出I-U图线，由此求得该电阻的阻值Rｘ＝_______Ω（保留两位有效数字）.
（2）画出此实验的电路原理图.
4.（★★★★★）在测定电流表的内阻的实验中备用的器材有
A.电流表（量程0～100 mA）
B.标准电压表（量程0～5 V）
C.电阻箱（阻值范围0～9999 Ω）
D.电阻箱（阻值范围0～99999 Ω）
E.电源（电动势2 V，有内阻）
图13-10
F.电源（电动势6 V，有内阻）
G.滑动变阻器（阻值范围0～50 Ω，额定电流1.5 A），还有若干开关和导线.
（1）如果采用图13-10所示的电路测定电流表G的内阻，并且要想得到较高的精确度，那么从以上备用的器件中，可变电阻R1应选用________，可变电阻R2应选用________，电源E应选用________（用字母代号填写）
（2）如果实验时要进行的步骤有：
A.合上S1.
B.合上S2.
C.观察R1的阻值是否最大，如果不是，将R1的阻值调至最大.
D.调节R1的阻值，使电流表指针偏转到满刻度.
E.调节R2的阻值，使电流表指针偏转到满刻度的一半.
F.记下R2的阻值.
把以上步骤的字母代号按实验的合理顺序填写在下面横线上：
___________________________________________________
（3）如果在步骤F中所得R2的阻值为600 Ω，则被测电流表的内阻rg的测量值为________Ω.
（4）电流表内阻的测量值r测与其真实值r真的大小关系是ｒ测________r真.（填“＞”“＜”或“＝”）
5.（★★★★★）现有一阻值为10.0 Ω的定值电阻、一个电键，若干根导线和一个电压表，该电压表表面上有刻度但无刻度值，要求设计一个能测定某电源内阻的实验方案.（已知电压表内阻很大，电压表量程大于电源电动势，电源内阻约为几欧）要求：
（1）在所示方框中画出实验电路图.

（2）简要写出完成接线后的实验步骤.
（3）写出用测得的量计算电源内阻的表达式r=________.
6.（★★★★★）（1997年上海）某同学用以下器材测量电阻：①电流计②电阻箱③单刀双掷电键（这种电键在掷刀a倒向b时ab接通，倒向c时ac接通）④待测电阻⑤电源⑥限流电阻，如图13-11所示.实验方法是利用单刀双掷电键分别将电阻箱和待测电阻接入电路，用电阻箱替代待测电阻的方法来测定待测电阻的阻值.

图13—11
（1）在图中完成电路的连接（其中有二条导线已连接好）.
（2）本实验中电键应先接通的是含有________________（填“待测电阻”或“电阻箱”）的电路.用电键变换电路，调节电阻箱时，应使两次测量的____________大小相同，这时待测电阻的值可以从__________________上读出.
7.（★★★★★）（2001年上海）要求测量由两节干电池串联而成的电池组的电动势E和内阻r（约几欧），提供下列器材：电压表V1（量程3 V，内阻1 kΩ）、电压表V2（量程15 V，内阻2 kΩ）、电阻箱（0~9999 Ω）、电键、导线若干.
某同学用量程为15 V的电压表连接成如图13-12所示的电路.实际步骤如下：

图13—12
（1）合上电键S，将电阻箱R阻值调到R1=10 Ω,读得电压表的读数为U1.
（2）将电阻箱R阻值调到R2=20 Ω,读得电压表的读数为U2.
由方程U1=E1-r、U2=E-r解出E、r，为了减少实验误差，上述实验在选择器材和实验步骤中，应做哪些改进？_____________________.
参考答案：
［难点磁场］
1.（1）A1 （2）见图13′—1

图13′—1 图13′—2
2.（1）连线如图13′—2所示
（2）由步骤①连成电路应用全电路欧姆定律得：
I0= ①
由步骤②连成电路，根据电路串、并联关系得：
②
①②式联立解得 ③
（3）由③式代入数据得E=I0RA/5%=6 V
3.（1）见图13′-3

图13′—3
（2）a;b;I2R/I1
［歼灭难点训练］
1.BC
2.0~3 V，0~10 mA,3200 Ω
3.（1）见图13′—4 2.4×103
（2）见图13′—5

图13′—4 图13′—5
解析：I=0.8 mA的点偏离较大，舍去，将其余各点连成直线，得到过坐标原点U-I图线.从图线上读取U、I值，如取I=1.0 mA,U=2.4 V，算得R==Ω=2.4×103 Ω.
由于待测电阻较大，Rx>>RA,测量时应取电流表内接法，滑线变阻器取分压接法.
4.（1）D,C,F （2）CADBEF （3）600 （4）＜
5.（1）见图13′-6

图13′—6
（2）步骤：a.断开电键，记下电压表偏转格数N1
b.合上电键，记下电压表偏转格数N2
（3）r=R
6.（1）见图13′-7

图13′—7

（2）待测电阻，电流，电阻箱
解析：①先将电池、电流表、限流电阻、电键组成串联电路，然后将电阻箱一端接Rx不接电键的一端，另一端接电键余下的C接线柱.
②先接通Rx，记下电流表示数，把电键掷向另一端，接入电阻箱，调整电阻箱，使电流表示数与接入Rx时相同，则电阻箱的阻值与Rx阻值相同，读出其数值即Rx的阻值.
7.应选用量程为3 V的电压表，改变电阻箱阻值R，读取若干个U的值，由I=计算出电流的值，然后作出U-I图线，由图线求得E、r值.