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空间几何体的内切球与外接球问题

1．[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．12π B.π C．8π D．4π
[解析]A　因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为2，所以正方体的外接球的半径为，所以球的表面积为4π·()2＝12π.
2．[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC ­ A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)
A．4π B. C．6π D.
[解析]B　当球与三侧面相切时，设球的半径为r1，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴8－r1＋6－r1＝10，解得r1＝2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为r2，则2r2＝3，即r2＝.∴球的最大半径为，故V的最大值为π×＝π.
3.[2016·郑州模拟] 在平行四边形ABCD中，∠CBA＝120°，AD＝4，对角线BD＝2，将其沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一球面上，则该球的体积为________．
答案：π；解析：因为∠CBA＝120°，所以∠DAB＝60°，在三角形ABD中，由余弦定理得(2)2＝42＋AB2－2×4·AB·cos 60°，解得AB＝2，所以AB⊥BD.折起后平面ABD⊥平面BCD，即有AB⊥平面BCD，如图所示，可知A，B，C，D可看作一个长方体中的四个顶点，长方体的体对角线AC就是四面体ABCD外接球的直径，易知AC＝＝2，
所以球的体积为π.

4.[2016·山西右玉一中模拟] 球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S­ABC的体积的最大值为(　　)
A. B. C．2 D．4
选A；[解析] (1)由于平面SAB⊥平面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球的对称性可知，当S在“最高点”，即H为AB的中点时，SH最大，此时棱锥S­ABC的体积最大．
因为△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r＝OC＝CH＝××2＝.
在Rt△SHO中，OH＝OC＝，
所以SH＝＝1，
故所求体积的最大值为××22×1＝.

5.[2016·赣州模拟] 如图7­38­19所示，设A，B，C，D为球O上四点，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝AC＝，若AD＝R(R为球O的半径)，则球O的表面积为(　　)

图7­38­19
A．π B．2π C．4π D．8π
选D；解析：因为AB，AC，AD两两垂直，所以以AB，AC，AD为棱构建一个长方体，如图所示，则长方体的各顶点均在球面上，AB＝AC＝，所以AE＝，AD＝R，DE＝2R，则有R2＋6＝(2R)2，解得R＝，所以球的表面积S＝4πR2＝8π.

6.[2016·安徽皖南八校三联] 如图所示，已知三棱锥A­BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC＝，BC＝2，CD＝，则球O的表面积为(　　)

A．12π B．7π C．9π D．8π
[解析]A　由AC⊥平面BCD，BC⊥CD知三棱锥A­BCD可以补成以AC，BC，CD为三条棱的长方体，设球O的半径为R，则有(2R)2＝AC2＋BC2＋CD2＝3＋4＋5＝12，所以S球＝4πR2＝12π.

7．[2016·福建泉州质检] 已知A，B，C在球O的球面上，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，且点O到平面ABC的距离为2，则球O的表面积为________．
答案：20π　[解析] 在△ABC中用余弦定理求得AC＝，据勾股定理得∠BAC为直角，故BC的中点O1即为△ABC所在小圆的圆心，则OO1⊥平面ABC，在直角三角形OO1B中可求得球的半径r＝，则球O的表面积S＝4πr2＝20π.

8. [2016·河南中原名校一联] 如图K38­16所示，ABCD­A1B1C1D1是边长为1的正方体，S­ABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)

图K38­16
A.π B.π C.π D.π

选D；[解析] 如图所示作辅助线，易知球心O在SG1上，设OG1＝x，则OB1＝SO＝2－x，同时由正方体的性质知B1G1＝，则在Rt△OB1G1中，由勾股定理得OB＝G1B＋OG，即(2－x)2＝x2＋，解得x＝，所以球的半径R＝2－＝，所以球的表面积S＝4πR2＝π.

9．[2013·课标全国Ⅰ]如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3

解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．
BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，
由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，
所以球的体积为π×53＝π(cm3)，故选A项．
答案：A

10．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为(　　)
A．12π　　　B．36π　　　C．72π　　　D．108π
选B；解析：依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为3×＝6，高为 ＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π.
11．[2014·石家庄质检一]已知球O，过其球面上A、B、C三点作截面，若O点到该截面的距离是球半径的一半，且AB＝BC＝2，∠B＝120°，则球O的表面积为(　　)
A. B. C．4π D.

解析：如图，球心O在截面ABC的射影为△ABC的外接圆的圆心O′.由题意知OO1＝，OA＝R，其中R为球O的半径．在△ABC中，
AC＝
＝ ＝2.
设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝＝＝4，得r＝2，即O′A＝2.在Rt△OO1A中，OO＋O1A2＝OA2，即＋4＝R2，解得R2＝，故球O的表面积S＝4πR2＝，故选A.
答案：A
12．[2014·郑州模拟]在三棱锥A­BCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．
解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则得a2＋b2＋c2＝43，即(2R)2＝a2＋b2＋c2＝43，易知R即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR2＝43π.
答案：43π
13．[2014·全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)
A. B．16π C．9π D.
答案：A；　[解析] 如图所示，E为AC与BD的交点．因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE＝AC＝.设球心为O，球的半径为R，则OE＝4－R，OA＝R.又因为△AOE为直角三角形，所以OA2＝OE2＋AE2，即R2＝(4－R)2＋2，解得R＝，所以该球的表面积S＝4πR2＝4π2＝.

14．[2016·湖南八校联考] 如图是一个几何体的三视图， 则这个几何体外接球的表面积为(　　)
A．8π B．16π C．32π D．64π

答案：C；　[解析] 该几何体为一个四棱锥，其外接球的球心为底面正方形的中心，所以半径为2，表面积为4π×(2)2＝32π.

15．已知四棱锥S ­ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16＋16，则球O的体积等于(　　)
A. B. C. D.
答案：D；　[解析] 由题意，当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥．设球O的半径为R，则AC＝2R，SO＝R，∴AB＝R，则有(R)2＋4××R·＝16＋16，解得R＝2，∴球O的体积是πR3＝π.
16．[2016·武汉调研] 已知直三棱柱ABC­A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，则该球的体积等于________．
答案：4π；　[解析] 设该球的球心为O，△ABC所在圆面的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC且OO1＝1.在△ABC中，因为AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，所以△ABC外接圆的半径r＝BC＝＝，所以该球的半径R＝＝＝，所以该球的体积V＝πR3＝4π.