江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--数列.doc

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编
数　列
一、填空题
1、（常州市2013届高三期末）已知数列满足，，则= ▲ ．
答案：
2、（连云港市2013届高三期末）正项等比数列{an}中，=16，则= ▲ .
答案：4
3、（南京市、盐城市2013届高三期末）在等差数列中, 若, 则其前9项和的值为 ▲
答案：27
4、（南通市2013届高三期末）若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=－36，S13=－104，
则a5与a7的等比中项为 ▲ ．
答案：．
5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知等比数列的前项和为，若，则的值是 ▲ .
答案：－2
6、（扬州市2013届高三期末）数列满足，，且 =2，则的最小值为 ▲ ．
答案：
7、（镇江市2013届高三期末）在等比数列中，为其前项和，已知，，则此数列的公比为 ▲ ．
答案：3;
8、（镇江市2013届高三期末） 观察下列等式： ×＝1－， ×＋×＝1－， ×＋×＋×＝1－，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，
×＋×＋…＋×＝ ▲ ．
答案：
二、解答题
1、（常州市2013届高三期末） 已知数列是等差数列，，数列是等比数列，．
（1）若．求数列和的通项公式；
（2）若是正整数且成等比数列，求的最大值．
答案：解：（1）由题得，所以，从而等差数列的公差，所以，从而，所以． ……………………3分
（2）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，，，.
因为成等比数列，所以．
设，，，
则，整理得，.
解得（舍去负根）.
，要使得最大，即需要d最大，即及取最大值.，，
当且仅当且时，及取最大值.
从而最大的，
所以，最大的 ………16分
2、（连云港市2013届高三期末）已知数列{an}中，a2＝a(a为非零常数)，其前n项和Sn满足：Sn＝(nÎN*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a＝2，且，求m、n的值；
(3)是否存在实数a、b，使得对任意正整数p，数列{an}中满足的最大项恰为第3p－2项?若存在，分别求出a与b的取值范围；若不存在，请说明理由．
(1)证明:由已知，得a1=S1==0，\Sn=， ………………………2分
则有Sn+1=，
\2(Sn+1－Sn)=(n+1)an+1－nan，即(n－1)an+1=nan nÎN*，
\nan+2=(n+1)an+1，
两式相减得，2an+1=an+2+an nÎN*， ……………………………4分
即an+1－an+1=an+1－an nÎN*，
故数列{an}是等差数列.
又a1=0，a2=a，\an=(n－1)a. ………………………………6分
(2)若a=2，则an=2(n－1)，\Sn=n(n-1).
由，得n2-n+11=(m-1)2，即4(m-1)2－(2n-1)2=43，
\(2m+2n-3)(2m－2n-1)=43. ………………………………8分
∵43是质数， 2m+2n-3>2m－2n-1， 2m+2n-3>0，
\，解得m=12，n=11. ………………………………10分
(III)由an+b£p，得a(n－1)+b£p.
若a<0，则n³+1，不合题意，舍去; ……………………………11分
若a>0，则n£+1.
∵不等式an+b£p成立的最大正整数解为3p－2，
\3p－2£+1<3p－1， ………………………………13分
即2a－b<(3a－1)p£3a－b，对任意正整数p都成立.
\3a－1=0，解得a=， ………………………………15分
此时，－b<0£1－b，解得<b£1.
故存在实数a、b满足条件， a与b的取值范围是a=，<b£1. ………16分
3、（南京市、盐城市2013届高三期末）若数列是首项为, 公差为6的等差数列；数列的前项和为.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若数列是等比数列, 试证明: 对于任意的, 均存在正整数, 使得, 并求数列的前项和；
(3)设数列满足, 且中不存在这样的项, 使得“与”同时成立（其中, ）, 试求实数的取值范围．
答案：解: (1)因为是等差数列,所以…………2分
而数列的前项和为,所以当时, ,
又,所以 ……………………4分
(2)证明:因为是等比数列,所以,即,所以 ………………5分
对任意的,由于,
令,则,所以命题成立 …7分
数列的前项和 …………………9分
(3)易得,
由于当时, ,所以
①若,即,则,所以当时,是递增数列,故由题意得
,即,解得,………13分
②若,即,则当时,是递增数列,,
故由题意得,即,解得…………………14分
③若,即,
则当时,是递减数列, 当时,是递增数列,
则由题意,得,即,解得…………15分
综上所述,的取值范围是或……16分

4、（南通市2013届高三期末）已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且．
（1）求a1；
（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1<p<q)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．
解：(1)令n=1，则a1=S1==0． ………………………………………3分
(2)由，即， ①
得 ． ②
②－①，得 ． ③
于是，． ④
③+④，得，即． …………………………7分
又a1=0，a2=1，a2－a1=1，
所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．
所以，an=n－1． ………………………………………………………………9分
(3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，
于是，． ……………………………………………………11分
所以，(☆)．
易知(p，q)=(2，3)为方程(☆)的一组解． ………………………………………13分
当p≥3，且p∈N*时，<0，故数列{}(p≥3)为递减数列，
于是≤<0，所以此时方程(☆)无正整数解．
综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列． …………16分
注 在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分．但在做除法过程中未对n≥2的情形予以说明的，扣1分．
5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知且令且对任意正整数，当时，当时，
（1） 求数列的通项公式；
（2） 若对任意的正整数，恒成立，问是否存在使得为等比数列？若存在，求出满足的条件；若不存在，说明理由；
（3） 若对任意的正整数且求数列的通项公式.
⑴当时， 且，
所以，……………………………………2分
又当时，且，
，…………………………………………4分
因此，数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，．………………………………………………………5分
⑵因为，所以，所以，
，…………………………………8分
假设存在，，使得能构成等比数列，则，，，
故，化简得，与题中矛盾，
故不存在，使得为等比数列． ……………………………………………10分
⑶因为且，所以
所以
所以，……………………………………………12分
由⑴知，，所以

　，…………………………………13分
，………………………………………………14分
所以，…………………………………16分
6、（苏州市2013届高三期末）设数列的前项和为，满足（）．
（1）若，，求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）已知数列是等差数列，求的值．

7、（泰州市2013届高三期末）已知数列,,其中
(1)求满足=的所有正整数n的集合
（2）n16,求数列的最大值和最小值
（3）记数列的前 n项和为，求所有满足（m<n）的有序整数对(m,n)
(1)an+1=｜bn｜，n－15=｜n－15｜，当n≥15时,an+1=｜bn｜恒成立，
当n<15时,n－15=－(n－15) ，n=15
n的集合{n｜n≥15,n∈N*}……………………………………….…………….…………….4分
(2)=
(i)当n>16时，n取偶数==1+
当n=18时（）max=无最小值
n取奇数时=-1-
n=17时（）min=-2无最大值 ……………………………………………………………8分
(ii)当n<16时， =
当n为偶数时==-1-
n=14时（）max=-（）min=-
当n奇数 ==1+ ， n=1 ， （）max=1-=，
n=15，（）min=0 ………………………………………………11分
综上，最大值为（n=18）最小值-2（n=17）……………….……..……………….12分

(3)n≤15时，bn=(-1)n-1(n-15)，a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (16-2k)≥0 ，n>15时，bn=(-1)n(n-15)，a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (2k-16) >0，其中a15b15+a16b16=0
S16=S14 m=7， n=8…………………………………………………………….16分
8、（无锡市2013届高三期末）已知数列{an}中，a1=2，n∈N+，an>0，数列{an}的前n项和Sn，且满足。
（Ⅰ）求{Sn}的通项公式；
（Ⅱ）设{bk}是{Sn）中的按从小到大顺序组成的整数数列。
（1）求b3；
（2）存在N（N∈N+），当n≤N时，使得在{Sn}中，数列{bk}有且只有20项，求N的范围．

9、（扬州市2013届高三期末）已知数列的前项和为．
（Ⅰ）若数列是等比数列，满足， 是，的等差中项，求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在等差数列，使对任意都有？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，
依题意，有即……3分
由 得 ，解得或.
当时，不合题意舍；
当时，代入(2)得，所以， . …………………7分
（Ⅱ）假设存在满足条件的数列，设此数列的公差为，则
方法1： ，得
对恒成立，
则 …………………10分
解得或此时，或．
故存在等差数列，使对任意都有．其中，
或． …………………15分
方法2：令，，得，
令，得， …………………9分
①当时，得或，
若，则，，，对任意都有；
若，则，，，不满足．
…………………12分
②当时，得或，
若，则，，，对任意都有；
若，则，，，不满足．
综上所述，存在等差数列，使对任意都有．其中，或． …………………15分

10、（镇江市2013届高三期末）已知函数，对一切正整数，数列定义如下：，
且，前项和为.
（1）求函数的单调区间，并求值域；
（2）证明；
（3）对一切正整数，证明： ；.
19. 解：（1）定义域R，
，……1分
，．……2分
函数的单调增区间为，单调减区间为 ．……3分
（法一），，当时， ，……4分
时，为减函数，；
当时， ；函数的值域为．……5分
（法二）当时，,当时，,且,,函数的值域为.……5分
（法三）判别式法（略）
（2）设,
　　设，则，则，.……6分
当时， 恒成立．
当且仅当时，……7分
令，当且仅当时，
当时，由（１）, 当时，无解……8分
当时， ，
当时，在无解．……9分
　　综上，除外，方程无解，
．……10分
（3） 显然,又,，
，……11分
所以， 若，则 矛盾.所以 .……12分
(法一)

……14分
……15分
……16分
(法二)……13分

……14分

……15分
， .……16分