广东省湛江市2009年第一次模拟考试数学试题[文科]及答案.doc

试卷类型：A
湛江市2009年普通高考测试题（一）
数 学（文 科）

本试卷共4页，共21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用2B铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式： 棱锥的体积公式
如果事件、互斥，那么
其中是底面面积，是高
如果事件、相互独立，那么 球的表面积公式

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知U = { 2，3，4，5，6，7 }，M = { 3，4，5，7 }，N = { 2，4，5，6 }，则
A．M∩N = { 4，6 } B．M∪N = U C．(Cu N )∪M = U D．(Cu M )∩N = N
2．若将复数表示为a + bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a + b =
A．0 B．1 C．–1 D．2
3．如图，样本数为的四组数据，它们的平均数都是，频率条形图如下，则标准差最大的一组是

频率
1.0
5
数据
频率
0.4
5
数据
4
6
0.3
频率
1.0
5
数据
频率
5
数据
2
8
3
4
6
7
0.3
0.4
1.0
1.0
0.1
0.2
频率
1
5
数据
频率
1
5
数据
4
6
0.3
频率
1
5
数据
频率
1
5
数据
2
8
3
4
6
7
0.2
0.5

第一组 第二组 第三组 第四组

．　　　　　　　　．　　　　　　　　　　．　　　　　　　．
4．已知等差数列的前13项之和为，则等于
．　　　　　．　　　　　．　　　　　．
5．已知函数，给出下列四个命题：
①若，则　②的最小正周期是　　　　　
③在区间上是增函数 　　 ④的图象关于直线对称
其中真命题是
．①②④　　　　　．①③　　　　　．②③　　　　．③④
6．若过点A (3 , 0 ) 的直线l与曲线 有公共点，则直线l斜率的取值范围为
A．(, ) B．[, ] C．(, ) D．[, ]
7．命题：，，则
．是假命题，：　　　
．是假命题，：　　　　
．是真命题，：，　
．是真命题，：
俯视图
主视图
8．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右
图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为
A．与 B．与
C．与 D．与
9．函数的图象大致是

．　　　　　　　　．　　　　　　　　　　．　　　　　　　．
10．已知在∆ABC中，，BC = 4，AC = 3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
开始
x = 1 , y = 0 , n = 1
输出(x , y )
n = n + 2
x = 3x
y = y–2
n>2009
结束
N
Y
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.
（一）必做题（11~13题）
11．抛物线的焦点坐标是__________________．
12．若实数,满足约束条件，则
的最大值为 ．
13．已知某算法的流程图如图所示，若将输出的 (x , y )
值依次记为(x1 , y1 )，(x2 , y2 )，……(x n , y n )，……
(1) 若程序运行中输出的一个数组是( , t)，则
t = ；
(2) 程序结束时，共输出(x , y )的组数为 ．
（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）
B
P
C
A
O
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则_________ _．
15．（几何证明选讲选做题）如图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若∠ACB = 120°，则∠APB = ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系下，已知A(2，0)，B(0，2)，，．
（Ⅰ）求f (x)的表达式；
（Ⅱ）求f (x)的最小正周期和值域．

17.（本小题满分12分）
有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4．
（Ⅰ）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；
（Ⅱ）摸球方法与（Ⅰ）同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？

18．（本小题满分14分）
如图，平行四边形中，，，且，正方形和平面成直二面角，是的中点．
A
B
C
D
E
F
G
H
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．

19．（本小题满分14分）
设为三次函数，且图像关于原点对称，当时， 的极小值为．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）证明：当时，函数图像上任意两点的连线的斜率恒大于0．

20．（本小题满分14分）
已知直线与曲线交于不同的两点，为坐标原点．
（Ⅰ）若，求证：曲线是一个圆；
（Ⅱ）若，当且时，求曲线的离心率的取值范围．

21．（本小题满分14分）
已知二次函数同时满足：①不等式 ≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立,设数列｛｝的前项和.
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）求数列｛｝的通项公式；
（Ⅲ）设各项均不为0的数列｛｝中，所有满足的整数的个数称为这个数列｛｝的变号数，令（）,求数列｛｝的变号数.

湛江市2009年普通高考测试题（一）
数 学（文 科）
参考答案及评分意见
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. B 2. B 3. Ｄ 4. B 5. Ｄ 6. D 7. Ｃ 8. 9. Ｂ 10. B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. （0，） 12. 9 13. ， 1005 14. 15.
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
16.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意得 …………………2分
∴
……………………4分
……………………6分
（Ⅱ） 由(Ⅰ)得,所以f(x)的最小正周期为
……………………7分
……………………8分
∴ ……………………10分
∴ ……………………11分
所以函数f(x)的值域是 ……………………12分
17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）用（表示甲摸到的数字，表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、，共16个；
------------------------------------------------------3分
设：甲获胜的的事件为A，则事件A包含的基本事件有：、、、、、，共有6个；则 ------------------------------5分
------------------------------6分
（Ⅱ）设：甲获胜的的事件为B，乙获胜的的事件为C;事件B所包含的基本事件有：、、、，共有4个；则 -------------------------8分
----------------------10分
，所以这样规定不公平. -----------------11分
答：（Ⅰ）甲获胜的概率为;（Ⅱ）这样规定不公平. -----------------------12分
A
B
C
D
E
F
G
H
18.（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：平面平面，交线为

∴ ----------2分
∴
又
∴ --------4分
（Ⅱ）证明：连结，则是的中点
∴中， ---------------6分
又
∴
∴平面 -------------8分
（Ⅲ）解：设中边上的高为
依题意：
∴
即：点到平面的距离为 ---------------10分
∴ -----------------14分
19.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设 -------------------------2分
其图像关于原点对称，即 -------------------------3分
得
∴，
则有 --------------------------------4分
由 ， 依题意得
∴ ① -----------------------------------6分
② ----------------------7分
由①②得 故所求的解析式为：. ---------------8分
（Ⅱ）由解得：或 -------------------------------10分
∴时，函数单调递增； ---------------12分
设是时，函数图像上任意两点，且，则有

∴过这两点的直线的斜率. -----------------------------------14分
20.（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：设直线与曲线的交点为

∴ 即：
∴ --------2分
在上
∴，
∴两式相减得： ----------------4分
∴ 即： ---------------5分
∴曲线是一个圆 ----------------6分
（Ⅱ）设直线与曲线的交点为，

∴曲线是焦点在轴上的椭圆 ----------7分

∴ 即： ----------8分
将代入整理得：

∴， ---------------10分
在上 ∴
又
∴
∴2
∴
∴
∴
∴
∴ ---------------12分

∴
∴
------------14分
21．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵不等式≤0的解集有且只有一个元素
∴　解得或------------------------2分
当时，函数在递增，不满足条件②
当时，函数在（０，２）上递减，满足条件②
综上得，即---------------------5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
当时，
当≥２时＝＝
∴--------------------------------------------9分
（Ⅲ）由题设可得----------------------------11分
∵，，∴，都满足
∵当≥３时，
即当≥３时，数列｛｝递增，
∵，由，可知满足
∴数列｛｝的变号数为３.----------------------------------------14分
如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.