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第12讲 平行的判定与性质
1. 线面平行的定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.
2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
符号表示为：.
3．性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
即：.
【例1】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC
证明：设PC的中点为G，连接EG、FG.
∵ F为PD中点， ∴ GF∥CD且GF=CD.
∵ AB∥CD， AB=CD， E为AB中点，
∴ GF∥AE， GF=AE， 四边形AEGF为平行四边形. ∴ EG∥AF，
又∵ AF平面PEC， EG平面PEC， ∴ AF∥平面PEC.
【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点. 求证：EF∥平面BB1D1D.
证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OE∥DC， OE=DC.
∵ DC∥D1C1， DC=D1C1 ， F为D1C1的中点，
∴ OE∥D1F， OE=D1F， 四边形D1FEO为平行四边形.
∴ EF∥D1O.
又∵ EF平面BB1D1D， D1O平面BB1D1D，
A
B
C
D
E
F
G
M
O

∴ EF∥平面BB1D1D.
【例3】如图，已知、、、分别是四面体

的棱、、、的中点，求证：∥平
面.
证明：如右图，连结，交于点，连结，
在中，、分别是、中点， ∴，
∵为中点， ∴为中点，
在中，∵、为、中点， ∴，
又∵平面，平面，
∴∥平面.
【例4】如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点（1）求证：MN//平面PAD；
（2）若，，求异面直线PA与MN所成的角的大小.
解：（1）取PD的中点H，连接AH，由N是PC的中点，
∴ NH. 由M是AB的中点， ∴ NHAM，
即AMNH为平行四边形.∴ .
由， ∴ .
（2） 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，∴ OMBC，ONPA，
所以就是异面直线PA与MN所成的角，且MO⊥NO.
由，, 得OM=2，ON=
所以，即异面直线PA与MN成30°的角
【例5】三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，且到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍. 这一结论叫做三角形的重心定理.
在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，在四面体的四个面中，与MN平行的是哪几个面？试证明你的结论.
解：连结AM并延长，交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由==得MN∥AB，
因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
【例6】经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1E∥B1B
证明：∵ ，
∴ .
又 ，
∴ .则.
【例7】如图，，，，，求证：.
A

B
C
D
β
证明：连结，
∵，
∴直线和可以确定一个平面，记为，
∵，，∴，
∵，，
∴， 又∵，
∴ 四边形为平行四边形， ∴.
【例8】如右图，平行四边形EFGH的分别在空间四边形ABCD各边上，求证：BD//平面EFGH.
证明：∵ ,平面，平面，∴ .
又 ∵ ，,∴ .
又 ∵ ,,∴ .
【例9】已知直线∥平面α，直线∥平面β，平面α平面β=，求证．
证明：经过作两个平面和，与平面α和β分别相交于直线和，
d
g
b
a
_
b
_
a

∵ ∥平面α，∥平面β，∴∥，∥， ∴∥，
又 ∵平面β，平面β， ∴∥平面β，
又 平面α，平面α∩平面β=，
∴ ∥，∵∥， ∴ ∥．
【例10】如下图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.
（1）求证：EM∥平面A1B1C1D1； （2）设截面A1BMN把该正四棱柱截成两个几何体的体积分别为V1、V2（V1＜V2，求V1∶V2的值.
解：（1）证明：设A1B1的中点为F，连结EF、FC1.
∵E为A1B的中点，∴EFB1B. 又C1MB1B，∴EFMC1.
∴四边形EMC1F为平行四边形.
∴EM∥FC1.∵EM平面A1B1C1D1，FC1平面A1B1C1D1，
∴EM∥平面A1B1C1D1.
（2）延长A1N与B1C1交于P，则P∈平面A1BMN，且P∈平面BB1C1C.
又∵平面A1BMN∩平面BB1C1C=BM， ∴P∈BM，即直线A1N、B1C1、BM交于一点P.
又∵平面MNC1∥平面BA1B1， ∴几何体MNC1—BA1B1为棱台.
∵S=·2a·a=a2， S=·a·a= a2，
棱台MNC1—BA1B1的高为B1C1=2a，
V1=·2a·（a2++a2）=a3，∴V2=2a·2a·a－a3=a3. ∴=.

1．面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：.
2. 面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 用符号语言表示为：.
3. 其它性质：①； ②；③夹在平行平面间的平行线段相等.
【例1】如右图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.
证明：连结B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴ PN∥B1D1.
又B1D1∥BD，∴PN∥BD.
A1
A
B1
B
C1
C
D1
D
G
E
F

又PN不在平面A1BD上，∴PN∥平面A1BD.
同理，MN∥平面A1BD. 又PN∩MN=N， ∴平面PMN∥平面A1BD.
【例2】正方体ABCD—A1B1C1D1中．（1）求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
（2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．
证明：（1）由B1BDD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，
又BD Ë平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C．
同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．
（2）由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．
从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．
N
M
P
D
C
Q
B
A
∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．
【例3】已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形. 点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD.
求证：平面MNQ∥平面PBC.
证明： PM：MA=BN：ND=PQ：QD.
∴ MQ//AD，NQ//BP，
而BP平面PBC，NQ 平面PBC, ∴ NQ//平面PBC.
又ABCD为平行四边形，BC//AD， ∴ MQ//BC，
而BC平面PBC，MQ 平面PBC, ∴ MQ//平面PBC.
由MQNQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理，
∴ 平面MNQ∥平面PBC.
【例4】P是所在平面外一点，分别是的重心，
（1）求证：平面; (2)求.
证明：分别连PA’，PB’，PC’并延长分别交BC，AC，AB于D，E，F.
则D，E，F分别是BC，CA，AB的中点. ∴ ， ∴ A’C’//FD.
同理, ∴ 平面.
(2) ∵ ， ∴ , 又DE=AB.
∴ ， 易证∽. ∴ =1:9.
【例5】如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β. 求证：MN∥α.
证明：连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE，
则ME∥AC，∴ ME∥平面α，
又 NE∥BD， ∴ NE∥β，
又ME∩NE=E，∴平面MEN∥平面α，
∵ MN平面MEN，∴MN∥α.
【例6】如图，A，B，C，D四点都在平面a，b外，它们在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．
证明：∵ A，B，C，D四点在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，
∴A，B，C，D四点共面．
又A，B，C，D四点在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，
∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1．
∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线．∴AB∥CD．
同理AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形．
【例7】如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F、G是侧面对角线上的点，且，求证：平面EFG∥平面ABC.
证明：作于P，连接PF. 在正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面中，易知，又，所以. ∴ ，平面ABC.
又∵ ，， ∴ ，∴ ，则平面ABC.
∵ ，∴ 平面PEF//平面ABC.
∵ 平面PEF， ∴ EF//平面ABC. 同理，GF//平面ABC.
∵ ，∴ 平面EFG//平面ABC.
【例8】如图，已知正方体中，面对角线，上分别有两点E、F，且. 求证：EF∥平面ABCD.
证明：过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN.
∵ BB1⊥平面ABCD， ∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴ EM∥BB1，FN∥BB1， ∴EM∥FN，∵ AB1=BC1，B1E=C1F，∴AE=BF， 又∠B1AB=∠C1BC=45°，
∴ Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM=FN.
∴ 四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN.
又MN平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.
证法二：过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，
∴，，，∴， ∴FG∥B1C1∥BC.
又∵EG=G，ABBC=B，∴平面EFG∥平面ABCD.
b又EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD.
【例9】如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变；
③棱A1D1始终与水面EFGH平行；
④当容器倾斜如图乙时，EF·BF是定值.
其中正确说法的序号是_____________.

解：对于命题①，由于BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有AD∥EH∥FG∥BC，且平面AEFB∥平面DHGC，故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且BC为棱柱的一条侧棱，命题①正确.对于命题②，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故②不正确.③是正确的（请给出证明）.④是正确的，由水的体积的不变性可证得.综上所述，正确命题的序号是①③④.