火车行程问题(小学数学).doc

小学数学火车行程问题
数学在学习过程中给大多数人以艰难的感受，尽力全面的认识，多角度突破可能使我们少受挫败的折磨。平时我们要积极建立知识背景网络：多留意各种等价说法（如“a与2的差”与“a减去2的差”，两者意思是相同的，即a－2），以及各种约定俗成的说法（如下面题中的“错车”）。一下读不懂题意时，不要急躁气馁，这时要看题慢一点，适当进行语义转换，用等价说法代换，画示意图，为正确理解题意铺平道路，通过这些手段帮助你消除陌生不安感觉、激活思考。找到思路了以后，有根据的推理验证。要有信心学会，不同的解法或讲解说明方法给人阅读理解的难易程度是不同的。
小学数学中行程问题是反映物体匀速运动（相同时间内通过相同的路程）的应用题。行程问题涉及的变化较多，有的涉及一个物体的运动，有的涉及两个物体的运动，有的涉及三个物体的运动。涉及两个物体运动的，又有“相向运动”（相遇问题）、“同向运动”（追及问题）和“相背运动”（相离问题）三种情况。但归纳起来，不管是“一个物体的运动”还是“两个物体的运动”，不管是“相向运动”、“同向运动”，还是“相背运动”，他们的特点是一样的：速度×时间=路程，这是基本公式，结合实际情况，又可变化出：
相向而行的公式：相遇时间=距离÷速度和，或 甲的速度×时间+乙的速度×时间=距离。
相背而行的公式：相背距离=速度和×时间，或 甲的速度×时间+乙的速度×时间=相背距离
相向而行的公式：（速度慢的在前，快的在后）追及时间=追及距离÷速度差。
若在环形跑道上，（速度快的在前，慢的在后）追及距离=速度差×时间，或 追及距离÷时间=速度差
流水问题公式：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间；逆水行程=（船速－水速）×逆水时间；顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速－水速 等等。
这些众多情况，不能靠死记硬背，应结合实际情况在分析理解的基础上，画出或在脑中想象出示意图，才可以比较容易记住和应用。下面以火车行程问题为例，讲解如何学习这类问题。

火车过桥或通过隧道，两车对开错车、快车超越慢车等情况，在分析题目的时候最好结合着图来进行。
①火车过桥是指“全车通过”，即从车头上桥直到车尾离桥才算“过桥”．如下图：

也可以图示为：

列车过桥的总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键。
（1）过桥的路程=桥长＋车长
（2）车速=（桥长＋车长）÷过桥时间，由此可得：
①通过桥时间=（桥长＋车长）÷车速
②桥长=车速×过桥时间-车长
③车长=车速×过桥时间-桥长
通过隧道类似。

★一列火车长200米，它以每秒10米的速度穿过600米的隧道，需要多少时间？

②两列火车的“追及”情况，请看下图：

两列火车A与B，图中（1）表示A已经追上B，图中（2）表示A已经超过B。从“追上”到“超过”就是一个火车“追及”过程，比较两个火车头，“追上”时A落后B的车身长，“超过”时A领先B的车身长，也就是说，从“追上”到“超过”，A的车头比B的车头多走的路程是B的车身长＋A的车身长，因此所需时间为：
（A的车身长＋B的车身长）÷（A的速度-B的速度）=从车头追上到车尾离开的时间。
两列火车的“追及”情况，也可以图示如下：

★有两列火车，一列长102米，车速每秒20米，另一列长102米，车速每秒17米，两车同向而行，快车从追上到超过慢车需要多少时间？

③两列火车“相遇”的情况，请看下图：

图中（1）表示“碰上”，图中（2）表示“错过”，“遇上”时两列火车车头相遇，“错过”（离开）时两列火车车尾离开，从“遇上”到“错过”两车共走的路程为两车的车长之和，所需要的时间为：
（A的车身长＋B的车身长）÷（A的速度＋B的速度）=两车从车头相遇到车尾离开的时间。
两列火车“相遇”的情况，也可以图示如下：

★有两列火车，一列长120米，车速每秒20米，另一列长160米，车速每秒15米，两车相向而行，两车从遇上到错过需要多少时间？

特别提示两点：
一是解决问题时要灵活运用上述要点，如解决火车和人相遇、火车追及人之类的问题，人或其它不计长度的物体与火车迎面相遇交错而过，所行的路程就是火车的长度。
二是画示意图要灵活处理，一百个人甚至可能画出一百个示意图，示意图也不是一次就能画好，可能需要多次修改或重画，画示意图的主要目的是反映出题意描述的位置、数量等关系，帮助解题，而不是仅讲究美观。

下面举几例复杂点的题。

1、 某火车（列车）通过250米长的隧道用25秒，通过210米的铁桥用23秒，问
（1） 该火车的车速和车长是多少？
（2） 该火车与另一列长320米，速度为每小时行64.8千米的火车错车时需要多少秒？
解析：首先应明确几个概念：火车通过隧道指的是从车头进入隧道算起到车尾离开隧道为止。因此，这个过程中火车所走的路程等于车长加隧道长；“错车”指的是从两个火车的车头相遇算起到他们的车尾分开为止，这个过程实际上是一个以车头的相遇点为起点的相背运动问题，这两个火车在这段时间里所走的路程之和就等于他们的车长之和。因此，错车时间就等于车长之和除以速度之和。
解1（算数法）：
每小时行64.8千米的火车速度：64.8千米/时=64800米/3600秒=18米/秒，也就是说每秒的速度为18米/秒
某火车通过250米长的隧道用25秒，通过210米的铁桥用23秒，路程差除以时间差等于火车车速。参考下图理解：

火车车速为：( 250－210)÷(25－23)=20米/秒
火车车长为：20×25－250=250(米)
或20×23－210=250(米)
所以该火车与另一列长320米，速度为每小时行64.8千米的火车错车时需要的时间为：
(320＋250)÷(18＋20)=15(秒)

解2（方程法）：
设某列火车的车长为X，则根据火车通过隧道和铁桥速度不变可列方程：
（250＋X）÷25=（210＋X）÷23
解得X=250
车长为：（210＋X）÷23=（210＋250）÷23=20(米)
错车时间就等于车长之和除以速度之和，另一车长320m，速度64.8千米/时=64800m/3600s=18m/s。
错车时间为：(250＋320)÷(20＋18)=15(s)
想一想：该题如果去掉第一问，是不是变难了？
平日做题，要及时总结。题目解决后，要想想此方法是最优解法吗，是否有更好的解法？万一自己解不出来或出错，不要气馁，要反思问题出在哪儿，题中的符号、术语的含义不清还是理解有误，哪儿考虑不周到，还是自己以前总结解题模型有问题，不能适应此题的情况，需要调整、修正。

2、快车每秒行18米，慢车每秒行10米。现有两列火车同时同方向齐头行进，行10秒钟后快车超过慢车；如果两辆车车尾相齐行进，则7秒后快车超过慢车，求两列火车的车长。
解析：这里的“超过”是指，快车的车尾位置超过慢车的车头位置。
解1：车头相齐，同时同方向行进，画线段图如下

快车长18 x10-10x10=80(米)
车尾相齐，同时同方向行进，画线段图如下

慢车长18 x7-10x7=56(米)
解2：开始时两车头对齐，快车超过慢车时，快车比慢车多走一个快车长，两车走的时间相同10秒

快车比慢车每秒钟多走(18-10)米，即速度差为(18-10)米/秒
快车比慢车多走的路程(18-10)×10=80（米）即快车长为80米。
开始时两车尾对齐，快车超过慢车时，快车比慢车多走一个慢车长，两车走的时间相同，都为7秒钟

快车比慢车每秒钟多走(18-10)米，即速度差为(18-10)米/秒
快车比慢车多走的路(18-10)×7=56（米）即慢车长为56米。

3、一列火车长160m，匀速行驶，首先用26秒（s）的时间通过甲隧道（即从车头进入口到车尾离开口为止）， 行驶了100km后又用16s的时间通过乙隧道，到达了某车站，总行程100.352km。求甲、乙隧道的长？
解1（算数法）：
 两隧道长度和100.352×1000-100×1000=352m
两隧道长度和加上2倍的车长除以时间和等于火车车速。参考下图理解：

车速：(252＋160×2)÷(26＋16)＝16（m/s）
甲隧道的长：16×26－160=256（m）
乙隧道的长：16×16－160=96（m）
解2（方程法）：设甲隧道长为X米,则乙隧道长为100.352×1000-100×1000－x＝352－x 米
由火车匀速行驶，通过各隧道的速度不变列方程：
(x＋160)÷26＝(352－x＋160)÷16
解得x=256
乙隧道长为352－x ＝352－256＝96米

4、小方和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长，他们拿了两块跑表。小方用一块表记下了火车从她面前通过所花的时间是15秒；小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是20秒。已知两电线杆之间的距离是100米。你能帮助小方和小敏算出火车的全长吗?
分析：这是一道变通的求车速和车长的过桥问题。从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是20秒（即行了一个车长和100米所用的时间）这是解题的关键。

要求车速，就要知道路程和相应的时间，已知小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是20秒（即行了一个车长和100米所用的时间），由此可知行100米所用的时间是20-15=5秒．
解：（1）火车车速是：100÷（20-15）=20（米/秒）；
（2）车身长是：20×15=300（米）；

5、某人步行的速度为每秒2米.一列火车从后面开来,超过他用了10秒.已知火车长100米.求火车的速度。
分析：人和车同向而行，人和车头相遇，画图时人和车头对齐，车完全超过人，人和车尾相遇，画图时人和车尾对齐，车比人多走一个车长，走的时间都为10秒。

解法一（算数法1）：人走的路程：2×10=20（米）
车走的路程：20＋100=120（米）
火车的速度：120÷10=12（米/秒）
解法二（算数法2）：车比人共多走一个车长，即多走100米，走了10秒钟。
车每秒钟比人多走100÷10=10（米）即速度差为10米/秒
火车的速度为10＋2=12（米/秒）
解法三（方程法）设火车的速度米/秒，根据 火车的路程=人的路程＋车长 列方程：
10X=2×10 ＋100
解得 X=12

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