高三理科数学011.doc

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期数 0509 SXG3 011
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇

预 习 篇
[同步教学信息]

预习篇八 数列的极限

【教材阅读提示】
数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n的无限增大，数列的项无限地趋近于某个常数a”的意义有两个方面：一方面，数列的项趋近于a是无限过程中进行的，即随着n的增大，越来越接近于a;另一方面，不是一般地趋势近于a，而是“无限”地趋近于a，即随着n的增大而无限地趋近于0.

【基础知识精讲】
一、知识结构

二、重要内容提示
1．数列极限的概念
如果当项数n无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个常数a，那么就说数列以a为极限，或者说a是数列的极限, 记作：.
说明：（1）“无限地趋近于a”的涵义是无限趋近于零，更确切地说是能够任意小，并且保持任意小.
（2）只有无穷数列才讨论它的极限，但并不是所有的无穷数列都有极限，有极限的无穷数列的极限只有一个.
（3）一个数列的极限是否存在，与这个数列前面的有限个项是什么数值无关，只与它后面无穷多项的变化趋势有关. 把数列的各项表示在数轴上，设a是数列的极限，那么当n无限增大时，数列的第n项所表示的点无限地趋近点x=a.
2．几个常见的数列的极限
（1）（C是常数）
（2）（,k是常数）
（3）（a为常数，|a|＜1
注：当a=1时，；当a=－1或|a|＞1时，不存在.

【典型例题解析】
例1 设无穷数列为：0，1，0，1，…，，…，其前n项和为；无穷数列为：0，－1，0，－1，…，，…，其前n项和为，则下列判断正确的是（ ）
A．数列的极限是0和1 B．数列的极限不存在
C．数列的极限存在 D．数列的极限不存在
分析：首先求得、、，然后逐一考察数列、、、的极限是否存在，从而得出结论.
解：随着n无限增大，的项始终在0和1两个数中摆动，不能无限趋近于一个常数，因此数列的极限不存在，选项A是错误的.
数列为：0，0，0，…，0，…，极限存在，因此，选项B也是错误的.
数列是：0，1，1，2，2，3，3，…，显然它的极限不存在，因此，选项C也是错误的.
数列是：0，－1，－1，－2，－2，－3，…，它的极限不存在，答案为D.
评析：一个数列的极限如果存在，它的极限是唯一的，不能是两个或更多个. 两个数列、的极限都不存在，它们的和数列的极限不一定不存在.
例2 若，则a的取值范围是（ ）
A．a=1 B．a＜1或
C．－1＜a D．a或a＞1
分析：由(a为常数)，知|a|＜1，所以由已知可得＜1，解这个不等式就可求得a的取值范围.
解：由，得＜1，
所以|1－a|＜|2a|，两边平方，得：
，
所以a＜1或，应选B.
评析：解题过程容易误认为只有=0，得a=1，错选A. 解决含有涉及到求字母取值范围的问题时，常常要利用集合的包含关系，充要条件来考虑问题.
例3 讨论数列的极限.
解：因为，当时，无限趋向于确定数0，所以数列无限趋向于1，即.
例4 讨论数列的极限.
解：分析数列的变化情况. 当n为奇数时，=1; 当n为偶数时，=－1,因此，当时，它始终在1和－1两数上来回跳动，显然不趋向于一个确定的常数，所以数列没有极限.
评析：不能认为数列的极限是1或－1，一个数列的极限是唯一确定的常数.
【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．数列：1,－1,1,－1,…，，…的极限为（ ）
A．1 B．－1 C．1和－1 D．不存在
2．数列：的极限为（ ）
A．1 B．0 C． D．不存在
3．下列无穷数列中，有极限的数列是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．无穷数列的极限是________.
5．数列7，7，7，…，7，…的极限是_______.

同步检测[※※级]
一、选择题
1．“数列是无穷数列”是“有极限”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知无穷数列、的通项公式分别是，由它们构成四个新数列：
①
②
③
④
其中存在极限的数列的序号是（ ）
A．①和② B．①和③
C．②和③ D．②和④
二、填空题
3．若数列的极限存在，则角的取值范围是_______.
4．已知数列，则=_______.
三、解答题
5．满足什么条件的等差数列有极限？满足什么条件的等比数列有极限？满足什么条件的等差数列的前n项和有极限？满足什么条件的等比数列的前n项和的极限存在？
6．数列的前n项和为，且，求的值.
参考答案
同步落实[※级]
一、1．D 2．B 3．B
二、4．5 5．7

同步检测[※※级]
一、1．B 2．B
二、3． 4．
三、5．解：公差为0的等差数列有极限；公比q满足0＜|q|＜1或q=1的等比数列有极限；首项为0，公差为0的等差数列的前n项和有极限；公比q满足0＜|q|＜1的等比数列的前n项和的极限存在.
6．解：当n=1时， ∴，
当n≥2，时，，得
，即是以为首项，的等比数列，
∴，∴.