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211. 下列说法中正确的是（ ）：
A. 直线l平行于平面α内的无数条直线，则l//α
B. 若直线a在平面α外，则a//α
C. 若直线a//b，直线bα，则a//α
D. 若直线a//b，bα，那么a就平行于平面α内的无数条直线
解析：画出图形，根据直线与平面平行的定义和判定定理进行分析。
解答: 由直线l 虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，知l不一定平行于α，从而排除A
直线a在平面α外，包括两种情况：a//α或a与α相交，故a与α不一定平行，从而排除B
直线a//b ，bα只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，故a不一定平行于α，从而排除C
a//b，bα，那么aα或a//α，故a可能与平面α内的无数条直线平行，从而选择D
D
A
F
G
N
M
B
C
E
图2－20
点评: 判定直线与平面平行时，要注意直线与平面平行的判定定理中的三个条件，缺一不可。 。[来源:学科网]
212.如图2－20，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN//平面BCE。[来源:学|科|网Z|X|X|K]
解析： 要证MN//平面BCE，就是要在平面BCE上找一条直线，证明它与MN平行即可。
证明: 连结AN并延长，交BE延长张于G，连结CG。
由AF//BG，知，故MN//CG，MN平面BCE，CG平面BCE，于是MN//平面BCE。
C
B
A
D
A1
D1
C1
B1
E
图2－
F
C
B
A
D
A1
D1
C1
B1
E
点评:证线面平行，通常转化为证线线平行，关键是在平面内找到所需的线。
213. 如图2－21，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为DD1的中点，
（1）判断BD1和过A、C、E三点的平面的位置关系，
并证明你的结论。
（2）求ACE的面积。
证明（1）：连结BD，令BD∩AC＝F。
∵BD1和过A、C、E三点的平面平行，
则F是DB的中点，又E是DD1的中点，
∴EF∥BD1
又EF平面ACE，BD1平面ACE，
∴BD1∥平面ACE
（2）在正方形ABCD中，AB＝2，AC＝2，∴AF＝
在直角△ADE中，AD＝2，DE＝1，∴AE＝
在Rt△EAF中，EF＝＝＝
∴
214. 直线a//直线b，直线a与平面α相交，判定直线b与平面α的位置关系，并证明你的结论[来源:学科网][来源:学*科*网Z*X*X*K]
证明：假设直线b与α不相交，则bα或b//α
(1)若bα，由a//b，bα，aαa//α，与a与平面α相交矛盾，故bα不可能。
(2)若b//α，又a// b，a，b可以确定平面β，设α∩β＝c，由cα,知b与c没有公共点，又b、c同在平面β内，故b//c，又a//b，故a//c，cα，aαa//α，这与a与平面α相交矛盾。故b不平行α。
综上所述，b与α必相交。
215. C
B
A
D
F
E
A1
D1
C1
图2－22
B1
如图2－22：在长方体AC1中，
（1）求证：BC1//平行平面AB1D1
（2）若E、F分别是D1C，BD的中点，则EF//ADD1A1
解析：（1）∵D1C1DCAB
∴ABC1D1是平行四边形
BC1//AD1
又BC1平面AB1D1，又AD1平面AB1D1
BC1//平面AB1D1
（2）证明：连结AF、CF、AD1，
∵ABCD是正方形，且F是BD的中点，知A、F、C三点共线，
且F是AC的中点，又E是CD1的中点
∴EF//AD，又EF平面ADD1A1，AD平面ADD1A1，
∴EF//平面ADD1A1[来源:学,科,网Z,X,X,K][来源:学|科|网]
216.在正方体木块ABCD－A1B1C1D1的表面上有一动点P由顶点A出发按下列规则向点C1移动；
⑴点P只能沿着正方体木块的棱或表面对角线移动；
⑵点P每一变化位置，都使P点到C1点的距离缩短。
动点P共有_________种不同的运行路线。
解析：通过画图逐一计数，共得12种不同路线（从B到C1，就有3种不同路线）
经过一条边，一条对角线的情况有6种，
，，
，，
经过三条边的情况有6种：
，，
，，
217. 判定下列命题的真假
（1）两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们的交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；
（2）两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；
（3）两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直。
解析：（1）若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，
如图2－55，正方体AC1中，平面AC⊥平面AD1，平面AC∩平面AD1＝AD，
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
图2－55
在AD上取点A，连结AB1，则AB1⊥AD，即过棱上一点A的直线AB1
与棱垂直，但AB1与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内，可以看出：线在面内这一条件的重要性；
（2）该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图2－56，在正方体AC1中，平面AD1⊥平面AC，AD1平面ADD1A1，AB平面ABCD，且AB⊥AD1，即AB与AD1相互垂直，但AD1与平面ABCD不垂直；
（3）如图2－56：正方体AC1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，AD1平面ADD1A1，AC平面ABCD，AD1与AC所成的角为60，即AD1与AC不垂直
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
图2－56
解：由上面的分析知，命题⑴、⑵、⑶都是假命题。
点评:在利用两个平面垂直的性质定理时，要注意下列的三个条件缺一不可：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个面内；③直线必须垂直它们的交线。
218.已知平面α⊥平面β，平面α⊥平面γ，且β∩γ＝a，求证：a⊥α。[来源:Zxxk.Com]
解析： 此题需要作出辅助线，可有多种证明方法。
证法1:如图2－57：在α内取一点P，作PA⊥β于A，PB⊥γ于B，
则PA⊥a，PB⊥a，又PAα，PBα，PA∩PB＝P，∴ a⊥α。
证法2：如图2－58，在a上任取一点Q，作QC ⊥α于C，∵β∩γ＝a，∴Q∈β，
又β⊥α，∴QCβ，同理可证QCγ，∴QC为β与γ的交线a，∴ a⊥α。
证法3：如图2－59，在a上取点R，在β内作RD垂直于α、β的交线l于D，
∴RD⊥α，同法在γ内，作RE垂直于α，交α与γ的交线m于E，则RE⊥α，过平面外一点，作这个平面的垂线是惟一的，∴RD、RE重合，则它既包含于β，又包含于γ，
∴ a⊥α。
证法4：如图2－60，在β、γ内分别取M、N分别作α、β的交线l和α、γ的交线m的垂线c，d，则c⊥α，d⊥α，c//d，c//a，∴ a⊥α。
点评: 此题是线线，线面，面面垂直转化典型题，多解题，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益的。
A
B
P
a
γ
β
α
图2－57
M
N
a
γ
β
α
l
m
图2－60
c
d
C
a
γ
β
α
图2－58
Q
E
a
γ
β
α
图2－59
R
D
m
l
[来源:学.科.网]
219.
A.
B.
C.
D.
下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是 （ ）
解析：C[来源:学科网]
220. 如图，将锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿BD折成60°的二面角，则A与C之间的距离为___________。
解析：a
A
B
C
A
B
C
D
E
D
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