中考数学特色试题（十四）综合性问题.doc

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“综合性问题”练习
1、已知一次函数y＝ax＋b（a、b是常数），x与y的部分对应值如下表：
x
－2
－1
0
1
2
3
y
6
4
2
0
－2
－4
那么不等式ax＋b>0的解集是 ．
2、如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时，M是线段PQ的中点．
在直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）．点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：
点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，……．对称中心分别是A、B，O，A，B，O，……，且这些对称中心依次循环．已知点P1的坐标是（1，1），则点P100的坐标为 ．
x
y
O
A
F
B
P
（第6题）
3、如图，已知点的坐标为（3，0），点分别是某函数图象与轴、轴的交点，点是此图象上的一动点．设点的横坐标为，的长为，且与之间满足关系：（），则结论：①；②；③；④中，正确结论的序号是_ 　　 ．
4、小明、小亮、小丽、小东四人共同探讨代数式的值的情况．他们从不同侧面进行了研究，其探究的结论如下，其中错误的是（ ）
A．小明认为只有当x＝2时，的值为1
B．小亮认为找不到实数x，使的值为0
C．小丽发现的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值
D．小东发现当x取大于2的实数时，的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值
5、如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
6、如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动，点N从点B同时出发，以2cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.则四边形AMND的面积y（cm2）与两动点运动的时间t（s）的函数图象大致是（ ）

A
B
C
D

7、甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球，球拍一副定价60元，乒乓球每盒定价10元.今年世界乒乓球锦标赛期间，两家商店都搞促销活动：甲商店规定每买一副乒乓球拍赠两盒乒乓球；乙商店规定所有商店品9折优惠.某校乒乓球队需要买2副乒乓球拍，乒乓球若干盒（不少于4盒）。
设该校要买乒乓球x盒，所需商品在甲商店购买需用y1元，在乙商店购买需用y2元。
（1）请分别写出y1 、y2与x之间的函数关系式（不必注明自变量x的取值范围）；
（2）对x的取值情况进行分析，试说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜；
（3）若该校要买2副乒乓球拍和20盒乒乓球，在不考虑其他因素的情况下，请你设计一个最省钱的购买方案。

8、在一平直河岸同侧有两个村庄，到的距离分别是3km和2km，．现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水．
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图8-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）；图8-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点）．
A
B
P
l
l
A
B
P

C
图8-1
图8-2
l
A
B
P

C
图8-3
K

观察计算
（1）在方案一中， km（用含的式子表示）；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图8-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算， km（用含的式子表示）．
探索归纳
（1）①当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；
方法指导
当不易直接比较两个正数与的大小时，可以对它们的平方进行比较：
，，
与的符号相同．
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
（2）请你参考右边方框中的方法指导，
就（当时）的所有取值情况进
行分析，要使铺设的管道长度较短，
应选择方案一还是方案二？

9、如图9-1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于两点．
（1）求线段的长．
（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？
（3）如图9-2，线段的垂直平分线分别交轴、轴于两点，垂足为点，分别求出的长，并验证等式是否成立．

图9-2

图9-1

图9-3

（4）如图9-3，在中，，，垂足为，设，，．，试说明：．

10、如图，直角坐标系中，已知两点，点在第一象限且为正三角形，的外接圆交轴的正半轴于点，过点的圆的切线交轴于点．
（1）求两点的坐标；
（2）求直线的函数解析式；
（3）设分别是线段上的两个动点，且平分四边形的周长．

试探究：的最大面积？

答案：
1、x<1 2、P100 (1，－3) 3、①②③
4、C 5、A 6、B

7、（1） 由题意知，在甲商店购买2副乒乓球拍可获赠4盒乒乓球，因此还需再购买（x-4）盒乒乓球. 所以 y1=10 (x -4)+60 ×2 , y1=10x + 80.
因为乙商店规定所有商品9折优惠，所以 y2=0.9(10x+60×2), y2=90x+108.
(2) 假设y1>y2, 即 10x + 80>90x+108, 得x>28.
所以购买乒乓球盒数超过28盒时，在乙商店购买所需商店比较便宜.
当x=28时，y1= y2=360. 所以购买28盒乒乓球时，在甲商店购买所需商品和乙商店购买所需商品同样便宜.
从而可知购买乒乓球盒数少于28盒时，在甲商店购买商品比较便宜.
（3）若所需商品全部在一个商店购买，由（2）知购买2副球拍20盒乒乓球时，在甲商店购买比在乙商店购买便宜，在甲商店购买需10×20+80=280元.
若所需商品在两个商店购买，可以到甲商店购买2副球拍，需2×60=120元，同时获赠4盒乒乓球；到乙商店购买16盒乒乓球，需要16×10×90%=144元，共需 120+144=264元.
因为264<280, 所以最佳的购买方案是：到甲商店购买2副乒乓球拍，获赠4盒乒乓球，到乙商店购买16盒乒乓球.

8、观察计算
（1）； （2）．
探索归纳
（1）①；②；
（2）．
①当，即时，，．；
②当，即时，，．；
③当，即时，，．．
综上可知：当时，选方案二；
当时，选方案一或方案二；
当时，选方案一．

9、解：（1） ∴A（-4，-2），B（6，3）
分别过A、B两点作轴，轴，垂足分别为E、F
∴AB=OA+OB
（2）设扇形的半径为，则弧长为，扇形的面积为
则
∵ ∴当时，函数有最大值
（3）过点A作AE⊥轴，垂足为点E
∵CD垂直平分AB，点M为垂足
∴
∵ ∴△AEO∽△CMO
∴ ∴ ∴ 同理可得
∴ ∴
∴
（4）等式成立．理由如下：
∵ ∴
∴ ∴ ∴
∴ ∴ ∴
∴
（第10题）

10、（1），．
作于，
为正三角形， ，． ．
连，，，
． ．
（2），是圆的直径，
又是圆的切线，．
，． ．
设直线的函数解析式为，
则，解得． 直线的函数解析式为．
（3），，，，
四边形的周长．
设，的面积为，
则，．
（第10题）
．
当时，．
点分别在线段上，
，解得．
满足， 的最大面积为．

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