高数工(I)考题汇编.doc

历年《高数１》考题选编
一、选择题
1、是函数的( ).
A、连续点 B、可去间断点 C、跳跃间断点 D、第二类间断点
2、下列各极限均存在，则下列等式成立的是( ).
A、 B、
C、 D、
3、= ( ).
A、 B、
C、 D、
4、对反常积分敛散性的描述正确的是 ( ).
A、发散 B、收敛于0 C、收敛于1 D、收敛于
5、设是的一个原函数，则( )。
A、 B、 C、 D、
1．当时，是的（ ）.
A．等价无穷小 B．同阶但不等价的无穷小
C．高阶无穷小 D．低阶无穷小
2．设函数在点处可导，且，则等于( ) .
A． B． C．2 D．
3．若，则=（ ）.
A. B. C. D.
4．下列反常积分收敛的是（ ）.
A. B. C. D.
5．非齐次微分方程的一个特解应设为（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题
1、设，则.
2、函数在内满足拉格朗日中值定理的.
3、函数的凹区间为_______　　　　__.
4、函数，则.
5、微分方程通解是______________________________.
1．设，则_______ _　　_ ___.
2．若函数 在处连续，则　　　　　　.
3．函数单调增加的区间是________　 　____.
4．定积分 .
5．微分方程的通解为 .
6.设，则
三、计算下列极限
1.求. 2.求　　3.求极限 4．求极限
5.设在内连续,且,求函数的导数及极限
四、计算下列导数与微分
1、由方程所确定的隐函数的导数.
2、求函数的导数.
3.求参数方程所确定的函数的二阶导数
4.设，求
5.已知函数由参数方程所确定，求.
6. 设 ，求.
7.设函数 在处可导，求的值.
8.设，求.
9.设满足方程，求.
五、计算下列不定积分和定积分
1.求. 　2.求.　　3.求.
4., 5., 6.
7.. 8.求 9.
六、1.求微分方程： 的通解.
2.设连续函数满足方程，求．
3.求微分方程的特解
4.求微分方程的通解.
5.求微分方程的解.
6.求微分方程：的通解.
七、应用题
1、设排水阴沟的横断面积一定，横断面的上部是半圆形，下部是矩形（矩形的宽等于圆的直径），问圆半径与矩形高之比为何值时，建沟所用材料（包括顶部、底部及侧壁）为最省.
2、一物体按规律做直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由移至时，克服介质阻力所做的功.
3．一窗户下部为矩形，配以透明玻璃，上部为半圆形，其直径等于矩形的底，上部配以彩色玻璃，已知窗户周长为，彩色玻璃透光度（单位面积所透过的光线多少的一种度量）是透明玻璃的一半，求矩形底为多少时，该窗户透光量最大？
4.设平面图形由, 及曲线过原点的切线所围成，求该图形的面积．
5.求由抛物线与直线所围成的平面图形的面积，并求这一平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.
6.用铁皮制作一个容积为8立方米的有盖圆柱形桶，问桶底半径与桶高等于多少时，所用铁皮的面积最小？
7．质量为千克的物体位于粗糙的平面上，须用力才把物体从原位置移动。已知摩擦系数为，问作用力对水平面的倾斜角为多大时，才能使所须的力量为最小？
8.抛物线 (第一象限部分)上求一点，使过该点的切线与直线相交所围成的三角形的面积为最大.
八、证明题
1.设函数有一阶连续导数，又为函数的驻点.
试证：在内至少有一点，使.
2.当时,证明
3. 当时，证明不等式.
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